Контрольная работа: Системи лінійних рівнянь

3.Якщо стовпець не входить у базисний мінор, то невідома з відповідним номером призначається вільною. Усього знайдеться (n – rang A ) вільних невідомих.

4.Нехай вільні невідомі хr +1, хr +2, … , хn . Якщо дати вільним невідомим довільні значення, то одержимо неоднорідну систему рівнянь відносно хr +1, хr +2, … , х n , у якої визначник не дорівнює нулю, і, отже, система має єдиний розв’язок.

5.Дамо вільним невідомим значення (1, 0, 0, 0, … , 0), потім (0, 1, 0, 0, … , 0) і т. д. Розв’язуючи системи, що утворюють, одержимо відповідно вектори . Ці вектори й утворюють базис простору L розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь.

6.Загальний розв’язок лінійної системи однорідних рівнянь у цьому випадку є лінійною комбінацією базисних векторів:

.

Неоднорідні системи. Теорема Кронекера – Капеллі: система неоднорідних лінійних рівнянь Ах = b сумісна тоді і тільки тоді, коли rangА = rang.

При цьому якщо rangА = rang= n , то система має єдиний розв’язок і він може бути знайдений за правилом Крамера.

Якщо rangА = rang<n , то система має нескінченно багато розв’язків, які утворюють лінійний многовид. При цьому підпростір зсуву – це простір L розв’язків однорідної системи рівнянь, і його базис можна побудувати способом, який було розглянуто вище. Вектор зсуву – це частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь. і він може бути знайдений, якщо в неоднорідній системі вільні невідомі покласти рівними деяким довільним значенням (наприклад, нульовим).

Загальний розв’язок неоднорідної системи – це загальний розв’язок відповідної однорідної системи плюс деякий частинний розв’язок неоднорідної системи. Останнє твердження можна записати через абревіатури відповідних термінів: З.Р.Н.С. = З.Р.О.С. + Ч.Р.Н.С.

Обернена матриця . Запишемо систему в матричному вигляді Ах = b . Якщо detА ¹ 0 (така матриця А називається невиродженою ), то для матриці А існує матриця А –1 така, що А –1А = АА –1 = Е .Така матриця називається оберненою до матриці А , і розв’язок системи можна записати за допомогою оберненої матриці у вигляді: А –1Ах = А –1b Þх = А –1b .

Таким чином, у випадку існування оберненої матриці А –1розв’язок системи має вигляд: х = А –1b .

Як же знайти обернену матрицю А –1 до невиродженої матриці А ?

I спосіб.

1) Складемо матрицю Аik з алгебраїчних доповнень до елементів аik матриці А ;

2) транспонуємо матрицю з алгебраїчних доповнень;

3) кожен елемент матриці, що утворилась, ділимо на detА .

В результаті маємо обернену матрицю – А-1.

II спосіб.

1) Запишемо матрицю А , а праворуч від неї, через вертикальну риску, –одиничну матрицю Е . Одержимо матрицю яка має n рядків та 2n стовпців;

2) у матриці, що утворилась, за допомогою застосування до рядків (і тільки до рядків) перетворень, що не змінюють ранг матриці, утворимо на місці матриці А одиничну матрицю.

На місці одиничної матриці тепер стоїть А –1.

III спосіб. Праворуч від матриці припишемо одиничну матрицю Е , а знизу припишемо матрицю (–Е ). У правому нижньому куті поставимо нульову матрицю. Використовуючи операції тільки над рядками матриці, що утворилась, на місці матриці (–Е ) утворимо нульову матрицю. Тоді у правому нижньому куті буде стояти А –1.

IV спосіб. Для обернення матриці, що має блокову структуру, тобто матриці вигляду: , де А – квадратна матриця порядку n ´n , а D – квадратна матриця q ´q , справедливі дві формули Фробеніуса:

1.Перша формула Фробеніуса (якщо detА ¹ 0):

, де H = D – CA –1B .

2.Друга формула Фробеніуса (якщо detD ¹ 0):

, де K = A – BD –1C .

2. Контрольні питання і завдання

1. Що таке ранг матриці і її базисний мінор? Чи визначаються вони однозначно?

2. Знайти ранг і всі базисні мінори матриці: .