Контрольная работа: Теория вероятностей и математическая статистика
Решение задачи
Вероятность Рn (m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:
Pn (m) = Cn m pm qn-m , m = 0,1,2,…,n(1)
где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.
Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.
При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:
(2)
где: 
(3)
где:
(4)
(5)
(6)
Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].
З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.
З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).
В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.
npq = 21, следовательно npq > 9.
При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .
Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).
Тогда:
| k2 – np | » | 40 – 30 | » | 10 | » 2,18 . |
| Ö npq | 4,58 | 4,58 |
| k1 – np | » | 0 – 30 | » | -30 | » - 6,55 . |
| Ö npq | 4,58 | 4,58 |
Pn (m£k2 ) » Ф(х2 ) – Ф(х1 ) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »
» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .
Ответ: Pn (m£ 40) » 0,98537 .
Задача 21
Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1 < x < х2
Варианты 17-24: 
Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.
Решение.
| Р(х) = | í | g , х Î [-1,5, 1], |
| 0, x Ï [-1,5, 1]. |