Контрольная работа: Уравнения, содержащие параметр
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым.
Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).
К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения переходят к у равнению
; при m=
записывают единственное решение
. Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.
Пример 1. Решить уравнение .
Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:
1) a=1, тогда уравнение принимает вид и не имеет решений;
2) при а=-1 получаем и, очевидно, х любое;
3) при .
Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при .
Пример 2. Решить уравнение
Очевидно, что , а
, то есть х=b/2, но
, то есть 2
b/2, b
4.
Ответ: при b4 х=b/2; при b=4 нет решений.
Пример 3. При каких а уравнение имеет единственное решение?
Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0
,
, а=1, а=6.
Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение – это значит:
1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
При
уравнение имеет единственное решение
, которое будет: положительным, если
или
; нулевым, если
; отрицательным, если
или
.
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.
Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение ; найти при каких а корни больше нуля.
Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х
0 сводится к таковому:
или а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х
0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 а=х+1
Из этого видно, что при х0 а
1, а при х
-1 а
0.
Таким образом, при а1 и а
0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.