Контрольная работа: Уравнения, содержащие параметр
Второй интервал:
![]() |
, т.е. если а<4, то
.
Третий интервал:
![]() |
а=4, т.е. если а=4, то
.
2. Первый интервал:
![]() |
а=4,
.
Второй интервал:
a>4,т.е. если 4<а, то
Третий интервал:
Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 .
Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.
Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2)
, 3)
и решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1. ,
.
При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень
. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е.
,
,
,
. Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень
при
, а на остальных а корней не имеет.
2. .
.
При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке . Если а
1, то уравнение имеет один корень х=1.
3. .
.
При а=1 решением является любое число, но мы решаем на . Если а
1, то х=1.
Ответ: при ; при а= – 1
и при а
1 х=1; при а=1
и при а
1 х=1.
1.3 Решение квадратных уравнений с параметром
Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида , где а, b и с – числа, причем, а
0.
Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения :
а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.
б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.
в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:
1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.
2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.
3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.