Контрольная работа: Уравнения, содержащие параметр

Второй интервал:

, т.е. если а<4, то .

Третий интервал:

а=4, т.е. если а=4, то .

2. Первый интервал:

а=4, .

Второй интервал:

a>4,т.е. если 4<а, то

Третий интервал:

Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 .

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.

1. , .

При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е. , , , . Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень при , а на остальных а корней не имеет.

2. . .

При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке . Если а1, то уравнение имеет один корень х=1.

3. . .

При а=1 решением является любое число, но мы решаем на . Если а1, то х=1.

Ответ: при ; при а= – 1 и при а1 х=1; при а=1 и при а1 х=1.

1.3 Решение квадратных уравнений с параметром

Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида , где а, b и с – числа, причем, а0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения :

а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.

2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.

3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.