Курсовая работа: Аналитический метод в решении планиметрических задач

Полученную формулу для вычисления угла от прямой l ₁ до прямой l ₂ можно записать и так:

Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда k ₁ k ₂ = - 1 , т.е. условие k ₁ k ₂ = - 1 выражает признак перпендикулярности прямых l ₁ и l ₂ .

Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.

1.6. Аналитическое задание геометрических фигур.Аналитическое условие и геометрические фигуры.

После того как на плоскости введена система координат, мы получаем возможность рассматривать на этой плоскости такие множества точек (а они - то и образуют те или иные геометрические фигуры), координаты х , у которых удовлетворяют тем или иным условиям (ограничениям). Эти условия могут носить характер уравнений, неравенств или систем уравнений и неравенств. Обратно, если на плоскости имеется некоторая геометрическая фигура (т.е. некоторое множество точек этой плоскости), то возникает задача нахождения аналитических условий, связывающих координаты х , у точек плоскости, которым удовлетворяют координаты всех точек данной фигуры и не удовлетворяют координаты никаких точек плоскости, не принадлежащих этой фигуре.

Аналитические условия, связывающие две переменных х, у и характеризующие фигуры Ф, с точки зрения математической логики представляют собой двухместный предикат Р(х, у) , заданный на множестве вещественных чисел: х, у Î R . Множество истинности этого предиката как раз и представляют собой такое множество пар действительных чисел х, у , которые служат координатами точек фигуры Ф и только таких точек. Этот факт записывают следующим образом:

Ф = {М(х, у): Р(х, у) – истинно}.

При этом, нетрудно понять, что если предикат Р(х. у) представляет собой конъюнкцию двух предикатов P ₁ (х, у) Ù Р₂ (х, у) , то фигура Ф есть пересечение двух фигур Ф = {М (х, у): Р₁ (х, у) Ù Р₂ (х, у) – истинно} = {М (х, у): Р₁ (х, у) – истинно} Ç {М (х, у): Р₂ (х, у) – истинно} = Ф₁ Ç Ф₂ .

Аналогично, если предикат Р(х, у) представляет собой дизъюнкцию двух предикатов P ₁ (х, у) Ú Р2 (х, у) , то фигура Ф есть объединение фигур Ф = Ф₁ È Ф₂ .

Итак, при координатном подходе к изучению геометрических фигур выделяются две взаимно обратные задачи:

1. по заданным геометрическим свойствам фигуры Ф составить аналитические условия Р (х, у), определяющие эту фигуру;

2. по заданным аналитическим условиям Р (х, у), определяющим фигуру Ф, выяснить её геометрические свойства.

Составление аналитических условий, определяющих фигуру.

Здесь по геометрическому описанию фигуры Ф требуется сформулировать такие аналитические условия Р(х, у) , что будут справедливы два утверждения:

а) если точка М(х, у) Î Ф, то её координаты х , у удовлетворяют условиям Р(х, у) , т.е. будучи поставлены в этот предикат, превращают его в истинное утверждение (высказывание);

б) если координаты точки М(х, у) удовлетворяют условиям Р(х, у) , то М Î Ф.

Ясно, что второе утверждение можно заменить равносильным ему утверждением:

б`) если точка М не принадлежит фигуре Ф, то её координаты не удовлетворяют условию Р(х, у) .

Практически это делается так. На данной фигуре Ф берется произвольная (или, как говорят, текущая) точка М(х, у) с текущими координатами х, у и отыскивается (необходимые и достаточные) условия принадлежности точки М фигуре Ф, т.е. строится некая модель этой геометрической ситуации (принадлежности М Î Ф). Затем в этой модели найденные условия переводятся на аналитический язык, т.е. на язык аналитической взаимосвязи текущих координат х, у текущей точки М .

Пример. Пусть на плоскости задана декартова система координат R = { O , i(а) , j(а) }. Составим аналитические условия, определяющие правую полуплоскость с граничной прямой Оу вместе с её границей. Таким условием будет неравенство , т.е. правая полуплоскость состоит из тех и только тех точек М(х, у), первые координаты которых (абсциссы) неотрицательны, поскольку все точки правой полуплоскости этим свойством обладают, а никакие точки, не принадлежащие правой полуплоскости (т.е. принадлежащие левой плоскости без граничной прямой Оу ), этим свойством не обладают ( для них ).

Аналитические условия, определяющие I координатную четверть, представляют собой конъюнкцию двух предикатов: , которые задают эту четверть как пересечение двух полуплоскостей: верхней (задаётся условием ) и правой (задается условием ). Аналогично, II четверть: ; III четверть: ; IV четверть: .

Из рассмотренных примеров видим, что аналитическое задание линий (или, как еще говорят, кривых линий, или, короче, кривых) приводит к уравнениям с двумя неизвестными х, у вида:

F (х, у) = 0

Здесь следует отметить, что дать строгое определение понятию линии в том адекватном смысле, в каком мы осознаем эти математические объекты с интуитивной точки зрения, весьма непросто. Понятие линии является одним из сложных понятий математики. Самое общее определение этого понятия рассматривается в топологии. Это понятие впервые было определено математиком П.С. Урысоном в 20-х годах XX века. Ограничимся пока следующими двумя определениями.

Определение. Уравнением данной линии L в заданной системе координат R = {О; е(а)₁ , е(а)₂ } называется такое уравнение F (х, у) = 0 с двумя неизвестными х, у , которому удовлетворяют координаты х, у каждой точки этой линии (т.е. будучи представлены в это уравнение превращают его в верное равенство) и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащей этой линии.

М (х, у) – текущая точка линии L ; х, у – текущие координаты.