Курсовая работа: Аналитический метод в решении планиметрических задач
.
Возведем в квадрат обе чести:
,
.
Возведем в квадрат еще раз: 
,
, (2)
Заметим, что так как 2а – сема дли двух сторон треугольника F1 М F2 , а 2с – длина его третьей стороны, поэтому 
и значит 
. Обозначит тогда 
, (3).
Тогда уравнение (2) принимает вид: 
, откуда поделив обе части на 
, приходим к требуемому уравнению (1).
Параметрические уравнения эллипса в канонической системе координат имеют вид: 
. Действительно, подставляя эти выражения в каноническое уравнение эллипса (1), приходим к основному тригонометрическому тождеству: 
.
Определение. Гиперболой называется совокупность всех точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек этой плоскости (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная.
Как и для эллипса, вводим аналогичным образом для гиперболы каноническую систему координат.
Теорема. В канонической системе координат уравнение гиперболы может быть записано в следующем виде (оно называется каноническим уравнением гиперболы): 
, (4).
Доказательство. Здесь условие принадлежности, текущей точки М к гиперболе 
, виду определения гиперболы, принимает вид:
т.е. 
. Преобразуя его совершенно подобным образом, как и в случае эллипса (дважды последовательно возводя в квадрат обе части уравнения), мы придем к тому же самому уравнению (2): 
.
Заметим, что в данному случае 2а – разность длин двух сторон треугольника F1 М F2 , а 2с – длина его третьей стороны, поэтому в случае гиперболы 
и значит, 
. Поэтому в этом случае обозначаем: 
или 
, (5).
Тогда для гиперболы уравнение (2) принимает вид 
, откуда, поделив обе части на 
, приходим к требуемому уравнению 
.
Параметрические уравнения гиперболы в канонической системе координат имеют вид:
