Курсовая работа: Аналіз теорії цифрових автоматів
Причому для того, щоб такий запис був однозначним, для представлення будь-якої десяткової цифри відводиться одна і та ж кількість двійкових розрядів - чотири. Якщо десяткова цифра вимагає для свого представлення менше значущих двійкових цифр, то попереду цих цифр дописуються нулі (так щоб загальна кількість двійкових знаків залишалась рівною чотирьом). Наприклад, десяткове число 834,25 в двійково-десятковій системі запишеться так:
(834,25) 10 = (1000 0011 0100,0010 0101).
Кожна четвірка (тетрада) двійкових цифр тут відповідає одній десятковій цифрі:
(8)10 = (1000)2-10 (2)10 = (0010)2-10
(3)10 = (0011)2-10 (5)10 = (0101)2-10
(4)10 = (0100)2-10
|
Якщо P=8, Q=2, n=3, то 8=23 і, отже, згідно даної теореми запис будь-якого числа в двійково-вісімковій системі співпадає з записом того ж числа в двійковій системі. (Зауважимо, що за тією ж теоремою записи будь-якого числа в двійковій і двійково-шістнадцятковій системах теж співпадуть). Переведемо, наприклад, все теж число (405) 10 з десяткової системи числення в шістнадцяткову:
405|16
32 |25 |16
85 9|1 |16
80 |0
5
Збираючи залишки від ділення, отримаємо (405) 10 = (195) 16 .
Представимо тепер число (195) 16 в двійково - шістнадцятковому записі: (195) 16 = (1 1001 0101) 2-6 .
Видно, що записи числа в двійковій і двійково-шістнадцятковій системах вuявuлuсь однаковими. Ця властивість двійково-вісімкової системи числення дозволяє дуже просто переводити числа з двійкової системи в вісімкову (чи шістнадцяткову) і навпаки.
Справді, будь-який двійковий запис розглядаємо як двійково-вісімковий код деякого вісімкового числа, розбиваємо його на трійки (тріади) двійкових цифр ліворуч і праворуч від коми. Кожній такій трійці ставимо у відповідність одну вісімкову цифру і отримаємо число в вісімковій системі числення.
Візьмемо, наприклад, код:
(10 011 110 ,001 1 )2 = (236,14)8 .
2 3 6 1 4
|
(3514,72)8 = (11 101 001 100 ,111 01 )2 .
3 5 1 4 7 2
Звідси слідує, що вісімкову систему числення можна використовувати для скороченого запису любого двійкового коду. При цьому використовується приблизно в двічі менше символів, якщо розбити їх на трійки цифр і кожну записати однією вісімковою цифрою. Так само запис будь-якого числа в шістнадцятковій системі числення можна використовувати для скороченого запису двійкового коду. В цьому випадку кожному шістнадцятковому символу взаємно однозначно відповідає набір з чотирьох двійкових цифр:
(0)16 = (0000)2 (8)16 = (1000)2
(1)16 = (0001)2 (9)16 = (1001)2
(2)16 = (0010)2 (а)16 = (1010)2 = (10)10
(3)16 = (0011)2 (b)16 = (1011)2 = (11)10
(4)16 = (0100)2 (c)16 = (1100)2 = (12)10
(5)16 = (0101)2 (d)16 = (1101)2 = (13)10
(6)16 = (0110)2 (e)16 = (1110)2 = (14)10
(7)16 = (0111)2 (f)16 = (1111)2 = (15)10 .
Так як записи числа в двійково-шістнадцятковій і двійковій системах за сформульованою вище теоремою співпадають, то, замінивши всі шістнадцяткові цифри деякого числа на відповідні четвірки двійкових цифр, отримаємо таке ж число в двійковій системі числення. При цьому запис числа буде використовувати приблизно в чотири раза менше цифр, ніж в двійковій системі числення. Наприклад, число (3c2e9) 16 може бути представлене в двійковій системі числення наступним чином: (11 1100 0010 1110 1001) 2 .