Курсовая работа: Анализ цепи во временной области различными методами

В данной задаче переменными состояния являются напряжения на ёмкостях и ток в индуктивности: и . При этом переменные состояния образуют систему из наименьшего числа переменных, полностью определяющих реакции всех ветвей цепи при заданных начальных условиях и приложенных при внешних воздействиях.

Требуемая система уравнений может быть получена из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа. При этом целесообразно записывать напряжения и токи на емкости и индуктивности через переменные состояния.

Выберем направления токов (рисунок 2).

Рисунок 2. Выбор направлений токов в ветвях и контуров.

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

Исключив из уравнений токи и напряжения, не связанные с переменными состояния, получим систему уравнений по методу переменных состояния, разрешенную относительно первых производных (форма Коши):

(1)

В матричной форме записи эта система имеет вид:

, (2)

где матрица коэффициентов при переменных состояния,называемая матрицей Якоби; - вектор - столбец переменных состояния; - матрица коэффициентов источников тока и э.д.с.; - вектор - столбец параметров источников.

В нашем случае это:

3.2 Определение точных решений уравнений состояния

Решение системы (1) определяется выражением:

Так как в цепи действуют источники постоянной ЭДС Е и постоянного тока J, то решение может быть представлено в более простом виде:

, (3)

Здесь - матричная экспоненциальная функция; - вектор-столбец начальных значений переменных состояния; - единичная матрица.

Начальные значения переменных состояния могут быть определены из анализа схемы до коммутации. Предполагается, что в схеме до коммутации существовал установившийся режим постоянного тока, что позволяет представить схему в виде:

Рисунок 2.1. Схема определения независимых начальных условий.

Анализ схемы рис. 2.1 позволяет определить независимые начальные условия:

(4)

Для определения матричной экспоненциальной функции используем разложение в ряд Тейлора:

, (5)

Число членов разложения должно быть равно числу переменных состояния. и являются некоторыми функциями времени, которые в свою очередь находятся из системы:

(6)