З (*) витікає твердження наслідку.

Для чисел, записаних в десятковій системі, із наслідку 3 випливає цілий ряд ознак подільності.

1) Основа (де ) ділиться на 2, 5, 10.

В цьому випадку отримаємо ознаки подільності на 2, 5, 10.

а) Для подільності числа на 2 необхідно і достатньо, щоб остання цифра була парною.

б) Для подільності числа на 5 необхідно і достатньо, щоб остання цифра ділилася на 5 (остання цифра 0 або 5).

в) Для подільності числа на 10 необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалося нулем.

2) Дільником числа (де ) є числа 4, 25, 50, 100.

Застосовуючи наслідок 3, отримуємо ознаки подільності на 4, 25, 50, 100.

Зокрема, для того, щоб число ділилося на 4, необхідно і достатньо, щоб число, записане останніми двома () цифрами, ділилося на 4.

3) Аналогічно можна вивести ознаки подільності на дільників числа , тобто на числа 8, 125,. Тут потрібно розглядати число, записане останніми трьома цифрами даного числа.

Теорема 8. Для того, щоб число ділилося на 7, або на 11, або на 13, необхідно і достатньо, щоб різниця між числом записаним останніми трьома цифрами, і числом, записаним цифрами, які залишилися даного числа (або навпаки), ділилася на 7, або на 11, або на 13.

Доведення. Будь-яке число N можна представити у вигляді де - число, записане останніми трьома цифрами числа N, а n - цифрами, які залишилися (приклад: 829 296 = 829 1000 + 296).

Запишемо N так:

;

звідси отримаємо:

,

чи

З (4) слідує висновок: для того, щоб число N ділилося на 7, або на 11, або на 13, необхідно і достатньо, щоб число n - Q (або Q - n) ділилося на 7, або на 11, або на 13.

Приклади.

1. Чи ділиться число 56 704 на одне з чисел: 7, 11, 13? Знаходимо: Q - n = 704 - 56 = 648. Але число 648 не ділиться ні на 7, ні на 11, ні на 13; отже, і дане число не ділиться ні на одне з чисел: 7, 11, 13.

2. Чи ділиться число 454 111 на 7?

454 - 111 = 343, 3437; отже, 454 1117.

3. Перевірка арифметичних дій

Теорія порівнянь дає наступний спосіб перевірки арифметичних дій. Вибираємо деякий модуль m і замінюємо великі числа а, b, c, над якими нам треба виконуємо дії (додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня), невеликими числами а', b', с' порівнянними з ними по модулю m. Виконавши дії над а, b, c ми такі ж дії виконуємо над а', b', с', якщо дії виконані правильно, то результати цих дій над а, b, c,. і над а', b', с',. мають бути порівнянні по модулю m.

Дійсно, згідно за властивостями якщо

…,

то

,

.