Курсовая работа: Арифметичні застосування теорії конгруенцій

то при діленні на будь-якого числа і взаємно простого з остача повториться тільки після визначення цифр частки.

Справді, конгруенція (1) еквівалентна конгруенції:

. (2)

Ця конгруенція саме й показує, що приписавши до числа нулів, що відповідає визначенню послідовних цифр частки, дістанемо при діленні на остачу . Через те що -найменше невід'ємне число, для якого мають місце конгруенції (1) і (2), то жодна остача не може повторитись раніш як через ділень. Зокрема, при діленні на перша остача, що повторюється, саме й буде причому вона повториться точно через ділень. Цим теорему доведено.

Бачимо, залежить тільки від знаменника нашого дробу і, звичайно, від основи нашої системи числення, тобто від числа g = 10. Тому два дроби і , які задовольняють умову теореми 1, матимуть одну й ту саму довжину періоду при перетворенні їх у десяткові дроби.

Приклад. Знайти довжину періоду, який утворюється при перетворенні дробів , де - будь-яке ціле, взаємно-просте з 21 у десяткові. Тут ; ділимо:

У частці маємо 6 цифр, беручи до уваги й 0, який відповідає першій дев′ятці. Отже, , тобто шуканий період складається з 6 цифр.

Теорема 2. Якщо нескоротний дріб і , де , то цей дріб перетворюється у мішаний періодичний десятковий дріб; число цифр у періоді дробу дорівнює де - показник, якому належить 10 за модулем ; число цифр до періоду дорівнює де - найбільше з чисел або .

Доведення. Справді, нехай дріб - нескоротний, причому

,

Помножимо на ; після скорочення в знаменнику множників 2 і 5 отримаємо:

,

де дріб - нескоротний і . За теоремою 1, цей дріб перетворюється у чистий періодичний з числом цифр у періоді, яке дорівнює , де - показник, до якого належить 10 за модулем . Щоб з нього дістати дріб , треба поділити на , тобто перенести кому в знайденому періодичному дробі на знаків ліворуч. У результаті отримаємо мішаний періодичний дріб з числом цифр до періоду, що дорівнює . Цим теорему доведено.

Приклад. ; маємо . Знайдемо , тобто показник, до якого належить 10 за модулем 7. Маємо:

.

Отже, ( можна знайти згідно з зауваженням зробленим вище). Таким способом усі дроби виду , де , перетворюються в мішані періодичні дроби з числом цифр у періоді, яке дорівнює 6, і з числом цифр до періоду яке дорівнює 2. Так наприклад, безпосередньо переконуємось, що

.

Розглянемо обернену задачу: знайти звичайний дріб, який відповідає заданому періодичному дробу.

Нехай дано чистий періодичний дріб: де - ціла частина, тобто

,

або

;

але

,

де число зображається дев'ятками. Отже отримаємо:

,

тобто для того, щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, треба період дробу зробити чисельником, а в знаменнику написати стільки дев'яток, скільки цифр у періоді, і знайдений дріб додати до цілої частини. Нехай тепер дано мішаний періодичний дріб:

Його можна подати так: