Для кожного числа обчислюється остача від ділення на 9 суми цифр. Виконуючи дії над числами, виконуємо такі ж дії над цими остачами. Результат даних дій над цими остачами повинен відрізнятися від суми цифр шуканого результату на число, кратне дев'яти.

Звичайно, якщо помилка така, що різниця між знайденою і дійсною величинами кратна 9, то вона при цьому способі перевірки не буде помічена. По модулю m = 11 кожне число, записане в десятковій системі числення, буде порівнянне з сумою цифр, узятих справа. наліво поперемінно із знаками „плюс" і „мінус"; тому ми можемо сформулювати наступний спосіб „перевірки за допомогою одинадцяти". Для кожного числа обчислюється остача від ділення на 11 суми цифр, узятих поперемінно справа наліво зі знаками „плюс" і „мінує". Результат даних дій над цими остачами повинен відрізнятися від суми узятих поперемінно зі знаками „плюс" і „мінус" справа наліво цифр шуканого: результату на число, кратне 11. Якщо помилка буде кратна 11, вона не буде помічена при цьому способі.

При складних обчисленнях має сенс проводити дві перевірки: одну за допомогою модуля 9, а іншу за допомогою модуля 11. В цьому випадку помилка не буде помічена лише, якщо вона кратна 99, що, звичайно, буває дуже рідко.

Приклади.1) Перевірити за допомогою модуля 9, чи вірний результат множення 734168539 = 626 899224.

Знаходимо, що сума цифр першого множника 21=3 (mod 9), а другого 25 = 7 (mod 9). Сума цифр добутку дорівнює 48 і дійсно відрізняється від 37 = 21 на число, кратне 9.

2) З допомогою, модуля 11 перевірити результат:

.

Сума цифр основи, узятих поперемінно із знаками „плюс" і „мінус", 7-9+1-3 7 (mod 11). Відповідна сума для результату, рівна - 9, відрізняється від 73 = 343 на число, кратне одинадцяти.

3) Перевірити за допомогою модулів 9 і 11, чи вірно, що:

Сума цифр діленого 426 (mod 9), дільника 30 3 (mod 9) і частки 325 (mod 9). Добуток 35=15 відрізняється від 6 на число, кратне 9. Перевіряємо за допомогою модуля 11. Знакозмінна сума цифр діленого, дільника і частки рівні відповідно 22, 2 і 14. Добуток 214 = 28 відрізняється від 22 на число, не кратне 11, так що результат не вірний.

4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий

З елементарної арифметики відомо, що звичайний нескоротний дріб у перетворюється в скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли канонічний розклад знаменника не містить простих множників відмінних від 2 і 5.

Нехай нескоротний дріб і канонічний розклад знаменника містить прості числа, відмінні від 2 і 5; перетворюватимемо такий дріб у десятковий.

Нескінченний десятковий дріб, десяткові знаки якого періодично повторюються, називається періодичним, десятковим дробом. Якщо десяткові знаки повторюються, починаючи з першого, то десятковий дріб називається чистим періодичним, у противному разі він називається мішаним періодичним дробом.

Теорема 1. Якщо нескоротний дріб і (,

10) = 1, то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятковий дріб; число цифр у періоді дробу дорівнює , де - показник, до - якого належить число 10 за модулем .

Доведення. Справді, не порушуючи загальності міркувань, можна нескоротний дріб вважати правильним (якщо він неправильний, тобто

, то. ми спочатку виділимо цілу частину); отже, можна вважати рівним одному з чисел, менших і взаємно простих з .

Перетворюватимемо дріб у десятковий за загальними правилами:

для цього поділимо спочатку 10 на позначаючи через частку і через - остачу від цього ділення, отримаємо:

Тепер поділимо на :

;

далі ділимо на :

і т.д. Такий процес нескінченний, бо щоразу будуть остачі, менші від і взаємно прості з . Справді, , за умовою, тому і ; аналогічно , а тому і т.д.

Звідси випливає, що різних остач при зазначеному діленні буде не більш, як . Це означає, що не пізніш як через кроків ми дістанемо повторення остач, а отже, й повторення цифр частки.

Для доведення теореми залишається показати, що перше повторення настане після ділень, де - показник, до якого належить 10 за модулем причому перша остача, яка повторюється, саме и буде . Тому знайдений дріб буде чистим періодичним з числом цифр у періоді, яке дорівнює .

Але для доведення цих тверджень досить встановити, що коли - найменший показник, для якого