Звідси виводимо таке правило: щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичайний, треба від числа, що стоїть між комою і другим періодом (тобто від числа ), відняти число, яке стоїть між комою і першим періодом (тобто число ), і цю різницю зробити чисельником; у знаменнику треба написати стільки дев'яток, скільки цифр у періоді, й після них - стільки нулів, скільки цифр між комою й першим періодом, і цей дріб додати до цілої частини N.

Зауваження. Можна відразу перетворити періодичний дріб у звичайний неправильний дріб (не виділяючи цілої частини). Для цього треба цифри цілої частини вважати цифрами, що стоять до періоду, й застосувати правило для перетворення мішаного періодичного дробу в звичайний. При такій побудові знаменника цифри цілої частини враховувати не слід.

Приклад.

, або .

5. Індекси. Загальні властивості

Загальновідомо, яке велике значення в різних розділах математики і особливо в обчислювальній практиці мають логарифми. У теорії чисел вводиться схожий з логарифмами апарат, який ми називатимемо індексами. Логарифмом b за основою а, як відомо, називається показник степеня а, рівний b. У теорії чисел аналогічно цьому розглядають показник степеня а, порівнянною з b по даному модулю m, і такий показник називають індексом b по модулю m і основою а.

Означення 1. Нехай (а,m) = l, (b,m) = 1; число s називається індексом b по модулю m і основою а, якщо

Таким чином, згідно з означенням:

. (1)

Якщо , то з слідує також , тобто індекс числа b є також індексом і всіх чисел з , і ми можемо таке число s називати індексом класу .

Означення 2. Нехай (а, m) =l, (b, m) = 1. s називається індексом класу пo модулю m і основою а, якщо по цьому модулю .

Приклади. Нехай модуль m =13, основа а = 2, тоді , тобто , і для будь-якого буде також , тобто , і в той же час, оскільки , маємо також .

Нехай модуль m = 21, основа а = 5. Тоді , , тобто по модулю 21 , . По цьому модулю не існує, оскільки не існує s такого, що .

Якщо як основу взяти число а, що не є первісним коренем по модулю m, то індекси будуть існувати не для всіх чисел, взаємно простих з модулем m.

Теорема 1. Нехай g-будь-який первісний корінь по модулю m. Для кожного числа b, взаємно простого з модулем m, існують індекси за основою g, тобто існують s такі, що

.

Безліч всіх таких індексів s для даного фіксованого b збігається з не від′ємними числами деякого класу по модулю .

Властивості:

1. Нехай g - первісний корінь по модулю m, (b,m) = 1; порівняння

(2)

має місце тоді і лише тоді, коли

. (3)

2. Нехай g - первісний корінь по модулю m

. Тоді

.

3. Нехай g - первісний корінь по модулю m,

. Тоді

(5)

4. Нехай g - первісний корінь по модулю m, (а,m) = l, ; тоді