Курсовая работа: Диференціальні рівняння

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 3² + 4² = a ² , звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих по­чаткових умов є функція у, задана рівнянням х² + у² =25.

Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (1) .

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку ди­ференціального рівняння відповідає множина всіх інтег­ральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + 2х=0 при початкових умовах х=3 і у =4 є крива

х² + у² = 25, а загальним розв'язкомx ² +y ² =а² .

У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто x² + у² = 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді форму­ли. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомо­гою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.

2. Історична довідка.

У кінці XVII — на початку XVIII ст. різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насам­перед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегруван­ня яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функ­ціями.

Найпростіші диференціальні рівняння з'явилися вже в працях Ісаака Ньютона (1643—1727) і Готфріда Лейбніца (1646—1716). Саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рів­няння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і тех­ніки. їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у ба­гатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що-досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є за­собом для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між ве­личинами, що характеризують певний процес, і швидкістю зміни цих величин. Іншими словами, ці закони виражаються рівностями, в яких е невідомі функції та їх похідні.

У XVIII ст. теорія диференціальних рівнянь відокремилася з ма­тематичного аналізу в самостійну математичну дисципліну, її успіхи пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667—1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736—1813) і особливо Леонарда Ейлера.

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що при­водять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, роз­в'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх пер­вісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціаль­них рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку.

У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і спосо­би наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату.

2 . Основна частина.

I. Рівняння показового росту

Розглянемо диференціальне рівняння вигляду

y ’( x ) = ky ( x ) (3)

де k – постійна, а y ( x ) – шукана функція.

Рівняння (3) називається рівнянням показового росту. Воно має такий зміст: для кожного значення аргументу, швидкість зміни функції пропорційно значенню даної функції.

Для того, щоб знайти розв’язки рівняння (3), можна поступити наступним чином. Нехай y( x)- деякий розв’язок, це означає, що y’( x) – ky( x)= 0 вірно. Помноживши обидві частини рівності на відмінний від 0 множник e^{- kx} , отримаємо вірну рівність

e^-kx y’(x) – e^-kx ky(x) = 0 (4)

Так як ( e ^{- kx} y ( x ))’ = e ^{- kx} y ’( x ) – ke ^{- kx} y ( x ), то рівність (4) можна записати так

(e^-kx y(x))’ = 0,

звідки e^-kx y(x) = C, або

y(x)=Ce^kx , (5)

де C – деяка довільна постійна.

Отже, тільки функції вигляду (5) можуть бути розв’язками рівняння показового росту (3). Безпосередня підстановка в рівняння (3) показує, що при будь-якій постійній C функція (5) є розв’язком рівняння (3) . Таким чином, формула (5) визначає множину розв’язків рівняння (3).

Для того, щоб із знайденої множини розв’язків (5) відокремити визначене, потрібно знати константу C . Для цього потрібні додаткові умови – так названі початкові умови ; в даному випадку достатньо знати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу:

y(x₀ )=y₀ (6)

Підставивши початкову умову (6) в розв’язок рівняння (5) , знайдемо y₀ = Ce ^{kx 0} , звідки C= y₀ e^{- kx 0} . Підставивши це значення C в формулу (5) , отримаємо розв’язок рівняння показового росту, яке задовольняє задано ній початковій умові (6) :