Курсовая работа: Диференціальні рівняння

Ми бачимо, що постійна C по початковій умові (6) визначається однозначно; ось чому розв’язок (7) , який задовольняє даній початковій умові буде єдиним.

Приклад. Розв’язати рівняння y’( x) = 3 y( x), якщо y(0) = 2.

Тут k =3, x ₀ =0, y ₀ =2; розв’язання можна записати за формулою (7) : y(x)=2e^3x . Це буде єдиний розв’язок, задовольняючий заданій початковій умові.

Розглянемо деякі прикладення рівняння (3) . При розв’язування задач потрібно спочатку скласти диференціальне рівняння, указати початкову умову, а потім розв’язати рівняння. При складанні рівняння звичайно використовують відомі з курсів фізики та хімії закони.

1. Швидкість прямолінійного руху.

З другого закону Ньютона

(8)

де a – це прискорення руху матеріальної точки маси m , F – результуюча всіх сил діючих на матеріальну точку.

Швидкість руху v( t) і прискорення a( t) являються функціями від часу t , також, як відомоv’( t) = a( t) . Помітимо, що дії над векторами, які проведені вздовж однієї прямої, на якій вибрано додатній напрям можна замінити на дії над їхніми проекціями на цю ж саму пряму. Таким чином, у випадку руху матеріальної точки вздовж осі Ox рівність (8) може бути заміненим рівністю

mv’(t) = F, (9)

де через v’( t) і F позначені відповідно проекції векторів і на цю ось. Рівняння (9) описує також і поступальний рух тіла. Такий рух можна розглядати як рух матеріальної точки, яка розташована в центрі мас тіла, під дією сил, прикладених до центру мас.

Задача. Моторний човен рухається в стоячій воді зі швидкістю 5 м/с. На повному ходу її мотор був вимкнутий; через 4 с її швидкість стала рівної 1 м/с. Вважаючи, що сила опору води пропорційна швидкості руху човна, визначити, через скільки секунд після вимкнення мотора швидкість зменшиться до 4 см/с?

Розв’язання. Будемо вважати, що човен рухається прямолінійно. Направимо ось Ох вздовж руху човна. Позначимо через v(t) швидкість руху човна в момент часу t після вимкнення мотора. В момент вимкнення мотора (t=0) швидкість, за умовою, дорівнює 5 м/с, або

v (0) =5. (10)

Це – початкова умова задачі. Складемо диференційне рівняння. Нехай маса човна дорівнює m . За умовою, на рухаючийся човен діє сила F=- k₁ v(t), де k₁ >0 (знак мінус вказує на те, що сила опору води направлена проти швидкості руху човна). Підставивши це значення F в рівняння (9) і позначивши m k₁ = k , отримаємо диференціальне рівняння

v’(t) =- kv(t) , k>0 ,

аналогічно рівнянню (3) . За формулою (7) знайдемо його розв’язок при початковій умові (10) :

.

Використовуючи додаткову умову v (4)=1 м/с , знайдемо

ось чому - це закон зміни швидкості руху човна після зупинки мотору. Для відповіді на питання потрібно розв’язати рівняння v ( t )=0,04 відносно t . Розв’язавши його отримаємо, що t =12с.

2. Радіоактивний розпад.

З фізики відомо, що кількість атомів радіоактивної речовини, що розпадаються в одиницю часу, складає постійну частину від кількості нерозпавшихся атомів. Для кожного вигляду радіоактивної речовини ця постійна частина своя, вона називається постійної розпаду і позначається через. Іншими словами: швидкість розпаду атомів радіоактивної речовини пропорційна кількості нерозпавшихся атомів, а саме

(11)

Де М (t)- кількість нерозпавшихся радіоактивних атомів речовини в момент часу t, М' (t) - швидкість їхнього розпаду. Бо з плином часу кількість нерозпавшихся атомів зменшується, те похідна М' (t) від’ємна. Рівняння (11) є диференційним рівнянням, аналогічним диференційному рівнянню показового зростання (3) . Враховуючи зв'язок між числом ядер і масою радіоактивної речовини, будемо говорити просто про розпад радіоактивної речовини.

Задача. Є М₀ радіоактивної речовини. Якщо за 30 років розпадається 50% його, те через скільки часу залишиться 25% первісної кількості?

Розв’язання. Позначимо через M (t) кількість радіоактивної речовини в момент часу t. Тоді

M (0) =M₀ (12)

Це – початкова умова задачі. Розв’язавши рівняння (11) при початковій умові (12) отримаємо