Курсовая работа: Диференціальні рівняння
Прийнявши до уваги, що M (30)= M 0 /2, з формули (13) знайдемо
За допомогою нескладних обчислень отримаємо, що відповідь 60 років.
3. Поглинання світла
При проходженні світла через воду (або скло) деяка його частина поглинається. Нехай на поверхню води перпендикулярно до неї падає світло з інтенсивністю A0 , інтенсивність світла на глибині х позначимо через А (х). Похідна А' (х) – швидкість поглинання світла на глибині х. З оптики відомо, що для таких серед, як вода або скло, швидкість поглинання світла на глибині х пропорційної інтенсивності світла на цій глибині, а саме
(14)
Так як інтенсивність світла А (х) з збільшенням глибини х зменшується, то похідна А'(х) від’ємна. Рівняння (14) є диференційним рівнянням типу (3) відносно функції А (х).
Задача. Десятиметровий шар води поглинає 40% світла ,що падає на її поверхню. На якій глибині денне світло буде по яскравості таким же, як місячне світло на поверхні води, якщо яскравість місячного світла складає яскравості денного світла?
Розв’язання. Початкова умова задачі має вигляд
A(0)=A0 (15)
Записавши розв’язання рівняння (14) при початковій умові (15) по формулі (5), отримаємо A(x)=A0 e-kx ; звідки, використовуючи додаткову умову A(10) = 0,6A0 , знайдемо
Закон поглинання світла матиме вигляд
Для визначення в задачі глибини х отримаємо рівняння
звідки х247 м.
4. Концентрація розчину.
Задача. Є судина ємністю а л, наповнений водним розчином солі. В судину вливається вода зі швидкістю b л в хвилину, перемішується, і розчин ,що одержується однорідної концентрації виходить з судини з тією ж швидкістю. Скільки солі буде міститися в розчині в момент часу t, якщо в початковий момент (t=0) її було в розчині A0 кг? Обчислити відповідь, якщо а=100 л, A0 =10 кг, b=3 л в хвилину, t=1 година.
Розв’язання. Позначимо через A (t) кількість солі в розчині в момент часу t. Концентрація розчину в цей момент часу буде рівна A (t)/a. Зміна кількості солі в розчині в одиницю часу дорівнює різниці між кількістю солі, що надходить в судину і що виходить з неї. Але сіль в судину не надходить, а виходить з нього в одиницю часу bA (t)/a. Тому швидкість А' (t) зміни кількості солі в розчині дорівнює
(16)
Знак мінус вказує на зменшення кількості солі у розчині. Маємо диференціальне рівняння типу (3) з початковою умовою
А(0) = А0 (17)
Записавши розв’язок рівняння (16) при початковій умові (17) за формулою (7), отримаємоA( t)= A0 e- bt/ a . Враховуючи числові дані задачі, знайдемо A(60)1,654 кг.
II. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку.
Подібно тому, як в алгебрі виникає поняття ступеню алгебраїчного рівняння, в аналізі виникає поняття порядку диференційного рівняння.
Якщо диференційне рівняння містить лише першу похідну цієї функції, те воно називається диференційним рівнянням першого порядку. З диференційних рівнянь першого порядку для додатків велике значення мають рівняння вигляду
y’ (x) +p (x) y (x) =q (x), (1 9 )
Де р(x) і q(x) — деякі безперервні функції; в а саме, вони можуть бути постійними. Це рівняння лінійне відносно цієї функції і її похідної. Такі рівняння називаються лінійними диференційнимирівняннями. При q ( x ) = 0 рівняння (18) має вигляд
y’(x)+p(x)y(x)=0 (20)