Курсовая работа: Диференціальні рівняння

Задача. Послідовно ввімкнені джерело струму з ЕРС Е, В, котушка з індуктивністю L , Гн ( L 0 ) і активний опір R , Ом. Знайти закон зміни сили струму I ( t ) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу ( t =0 ) вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна – E ( t )= E ;

Розв’язання. Використовуючи (25), після відповідних підстановок отримаємо співвідношення

,

яке при заданих R , L і E ( t ) можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння

(26)

з початковою умовою

I (0) =0. (27)

Випадок а). При постійному струмі E ( t )= E рівняння (26) з початковою умовою (27) аналогічно рівнянню (22) з початковою умовою (4). Розв’язавши його по формулі (23), знайдемо

. (28)

З (28) маємо, що з зростанням часу t сила струму I( t) наближається до постійного значення E/ R. Таким чином, у встановившомуся режимі при постійній ЕРС джерела струму виникаючої в ланцюгу струм “не помічає” індуктивності і підпорядковується закону Ома для замкнутої ділянки ланцюгу постійного струму.

3. Падіння тілї

При падінні тіл в порожнечі рух відбувається прямолінійно під дією сили тяжіння. При падінні тіл в повітрі рух можна вважати також прямолінійним, що відбувається під дією сили тяжіння і сили опору повітря, направленої вгору.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в повітрі на землю, вважаючи силу опору повітря прямо пропорційною швидкості руху і початкову швидкість рівної v₀ м/с.

Розв’язання. Направимо ось Оу вертикально вниз вздовж траєкторії падіння тіла. На тіло будуть діяти дві сили: сила тяжіння і сила опору повітря. Проекція сили тяжіння на ось Оу дорівнює mg, де m - маса тіла; проекція сили опору повітря на ось Оу, згідно умові задачі, дорівнює - kv (t), де k-коефіцієнт пропорційності. Проекція прискорення руху тіла на ту же ось дорівнює похідної v’(t). На підставі другого закону Ньютона будемо мати

mu' (t) == mg - kv (t),

або v' (t) +k₁ v (t)=g, (29)

де k₁ =k/m.

Рівняння (29) - лінійне диференційне рівняння типу (22) з початковою умовою

v (0) =v₀ . По формулі (23) знайдемо його розв’язання:

З цієї формули бачимо, що з зростанням часу t швидкість падіння v( t) буде наближатися до значення . При чому якщо v₀ < , то швидкістьv( t) буде наближатися до значення зростаючи, а при v₀ > - спадаючи. Наприклад, при затяжному стрибку на парашутиста після розкриття парашуту швидкість з плином часу, спадаючи, буде наближатися до значення . Величина k залежить від діаметру куполу парашуту. Це дозволяє (при відомому значенні mg) зробити розрахунок так, щоб швидкість спуску парашутиста була безпечною для приземлення. Звичайно така швидкість рівна 5-7 м/с.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в порожнечі на землю, вважаючи початкову швидкість руху рівної v₀ .

Розв’язання. В цьому випадку опір повітря буде відсутнім і рівняння (29) видозмінюється

v’ (t) =g. (30)

В результаті інтегрування отримаємо безліч розв’язків v (t) =gt+C, з якого знайдемо розв’язок рівняння (30), що задовольнить заданій початковій умові v (0) =v₀ : v (t)=v₀ +gt- результат, добре відомий з курсу фізики.

III . Гармонічні коливання

х’’+x= 0 , (31)

де - деяке додатне число.

Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція