Курсовая работа: Диференціальні рівняння

v '(х) =р (х), отримаємо справедливу рівність (y (x) e^v(x) ) ’=0 . Отже,

y (х) е^v(x) =C , де C-довільна постійна, звідки

y(х) =Се^-v(x) . (21)

Отже, якщо у (х) – розв’язання рівняння (19) , те воно має вигляд (21) . Безпосередній підстановкою в рівняння (19) функції (21) переконуємось, що при будь-якому значенні постійної С вона є розв’язанням рівняння (19) . Отже, формула (21) дає безліч всіх розв’язків рівняння (19) . При початковій умові (6) з неї можна отримати певний розв’язок.

Неоднорідне лінійне диференційне рівняння (18) може бути зведене до вже розглянутого випадку однорідного рівняння. Наприклад, якщо функції р(х) і q(x) — постійні, а саме p(x) =k, k0, q(x) =a (k і а - постійні ), рівняння

y'(x) +ky (x) =a (22)

Можна переписати в вигляді однорідного рівняння

.

Звідси видно, що множина всіх розв’язків y(x) цього рівняння визначається формулою

y(x)=Ce^-kx +a/k,

а розв’язок рівняння (22) , яке задовольняє початковій умові (6), - формулою

(23)

Розглянемо деякі задачі на прикладення лінійних рівнянь.

1. Охолодження тіла

Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.

Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?

Розв’язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою

U (0 )= 500 (24)

Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t дорівнює U ’( t ) . Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:

U (t) = -k (U (t)-20), k>0.

Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U( t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):

U’ (t)+kU (t)= 20k

Розв’язуючи його за формулою (23) з початковою умовою (24) , отримаємо

U (t)= 480e^-kt +20

Використовуючи додаткову умову U(10)=100 , знайдемо і, відповідно, U(t)=480 . Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.

2. Найпростіші електричні ланцюги

Якщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е , В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:

E=U_R +U_C +U_L . (25)

Тут U_R = RI(t) – напруга на активному опорі, U_C =q(t)/C – напруга на конденсаторі і U_L =LI’(t) – напруга на котушці індуктивності; I(t) – сила струму в ланцюгу в момент часу t , яка вимірюється в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.