Курсовая работа: Динамічні процеси та теорія хаосу

T > st (1.11)

яке відразу вирішує питання про те, як природним чином ввести відображення (1.9).

Якщо виконана умова (1.11), то існує природна структура відображення (1.9). Вона включає послідовність моментів {tk }, розділених інтервалами ~T між областями, де відбувається помітна зміна дії. Рівняння відображення виходять в результаті зшивання цих змін на двох послідовних інтервалах.

Вся відмінність в змінах дії поміщена у вигляді функцій g1 , g2 .

Ці прості міркування дозволяють без великих втрат виключити деякі непотрібні ускладнення. По-перше, вважатимемо, що st > 0, тобто зміна дії відбувається миттєво (удар). З фізичної точки зору це означає, що часовий інтервал st зміни дії менше всіх характерних часів завдання. По-друге, рахуватимемо інтервали T між моментами tk постійними.

Гамільтонін описаної системи може бути представлений в (p , x ) -пространстве у вигляді

. (1.12)

На осцилятор з гамильтонианом H 0 (p , x ) діють миттєві поштовхи через постійні інтервали часу Т. Между поштовхами рух є вільним і передбачається відомим.

Тому зшивання рішень на двох різних інтервалах може бути проведена точно. Покажемо, як це лается.

Виведення відображення . Повернемося знову до змінних действие—угол:

(1.13)

де V (I ? ) виходить з V(х) заміною змінних. Рівняння руху (1.7) набирають вигляду

(1.14)

Хай поштовх відбувається при деякому t = t0 . Визначимо -отображение таким чином:

(1.15)

Відображення виникає як послідовна дія удару і вільного руху (обертання на торі) :

(1.16)

(Мал. 1.5). Маємо для

(1.17)

Рис. 1.5. Побудова універсального відображення.

Щоб отримати, проінтегруємо систему (1.14) в малій околиці біля моменту поштовху (t0 - 0, t0 + 0). Врахуємо при цьому, що змінна x безперервна. Тому в крапці t 0 функція V(x)= V (I ? ) безперервна. Маємо

(1.18)

Рівняння (1.18) визначають :

(1.19)

Підставляючи (1.17), (1.19) в (1.16), отримуємо рівняння (1.15) в явному вигляді:

(1.20)

Це і є універсальне відображення. Воно допускає ще одне спрощення, якщо потенціал обурення залежить тільки від узагальненої координати ? і не залежить від імпульсу I . Тоді (1.20) перетворюється на наступне відображення:

(1.21)