Курсовая работа: Динамічні процеси та теорія хаосу

(1.26)

Його рішення

показує відразу нестійкість щодо обурень початкової умови:

(1.27)

З іншого боку, очевидно, що, не дивлячись на властивість (1.27), ніякої стохастичності в системі (1.26) не немає. Парадокс пов'язаний з тим, що система (1.26) здійснює инфинитное рух, в якому траєкторії можуть розходитися достатньо далеко і достатньо швидко із-за необмеженості фазового простору.

Ситуація змінюється, якщо замість (1.26) розгледіти систему, фазовий простір якого фінітного

(1.28)

Тут є стохастичність при K > 1. Дуже важлива умова, що накладається на розглядувані далі системи, — финитность їх динаміки у фазовому просторі. Цього зауваження набуває глибший сенс для диссипативних систем, де осциляторна динаміка може бути взагалі відсутньою. Зокрема, характеристичні показники можуть не мати уявної частки ні при яких реальних значеннях параметрів.

Аттрактори і репеллери . Порівняльний аналіз особливостей на фазовій плоскості для гамильтоновских і диссипативних систем якнайкращим способом представляє їх відмінність. Структура фазового простору в диссипативному випадку набагато багатша, і тому тут слід чекати різноманітнішу динаміку систем.

Однією з відмітних властивостей диссипативних систем є існування аттракторов і репеллеров. Під «аттрактором» розуміється будь-яка притягуюча безліч. Прикладами аттракторов можуть бути стійкий фокус, стійкий граничний цикл. «Репеллером» є відштовхуюча безліч крапок. Такою властивістю володіють, наприклад, нестійкий фокус і нестійкий граничний цикл. При t > : фазові траєкторії все ближче наближаються до аттрактору. Система наближається до деякого сталого режиму, точки якого належать безлічі А+ , що є аттрактором. Аттрактор є інваріантна безліч, тобто

Репеллер легко зрозуміти, якщо представити його як аттракторА- , до якого прагнуть фазові траєкторії при t > -. Він також є інваріантним безліччю:

Стохастичний аттрактор . На перший погляд здається, що існування аттракторов виключає можливість стохастичної динаміки у фазовому просторі, оскільки з часом відстань між крапками фазової траєкторії і точками безлічі А+ повинно прагнути до нуля. Тому з часом траєкторія все більше наближається до крапки або циклу, в структурі яких немає нічого випадкового. Природа, проте, розпорядилася інакше.

Існує притягуюча безліч, сама структура якої є дуже складною. Її не просто описати, але можна вказати її головну особливість. Динаміка крапки на такій структурі в будь-якому можливому для аналізу сенсі є випадковою подібно до того, як це має місце в гамильтоновских системах. Така притягуюча безліч, на якій реалізується стохастична динаміка, називатимемо стохастичним аттрактором.У поняття стохастичності вкладаються, по суті, ті ж не дуже строго певні поняття, що апелюють швидше до фізичного сенсу, чим до строгого визначення. Перерахуємо їх.

1. Система здійснює фінітний рух.

2. У кінцевій області фазового простору є локальна нестійкість. Розгледимо цей пункт докладніше.

У гамильтоновских системах траєкторія достатньо швидко заповнювала весь фазовий простір унаслідок ергодичності і перемішування. Тепер ці поняття представляються анахронізмом, оскільки траєкторія притягується до деякої безлічі As , яка не лише є частка фазового простору, але і може мати нульову міру. Можна, проте, вчинити таким чином. Скористаємося інваріантністю As

(1.29)

і тим, що через деякий не дуже великий час точки фазової траєкторії дуже близькі до точок As . Тому поняття локальної нестійкості можна ввести не у фазовому просторі Г, а в :

(1.30)

тут індекс As при D означає, що відстань D береться між двома траєкторіями, початкові точки яких належать As .

Наступне важливе зауваження дозволяє зняти індекс As ( 1.30). Якщо t0 не дуже мало, то відзнака положення точок реальної траєкторії від положення відповідних точок As мало. Їм можна нехтувати, і тому расходимость траєкторій згідно із законом

(1.31)

відбуватиметься для будь-якої пари крапок в деякій області фазового простору кінцевої міри, якщо тільки виконана важлива нерівність

(1.32)

Доказ існування часу може виявитися достатньо складним для реальних систем, хоча сам факт його існування може представлятися цілком очевидним.

3. Існують змінні z такі, що розчіпляється корелятор