1.1. Три образи хаосу

1.2. Аттрактор Лоренца і хаос в рідині

1.3. Універсальне відображення для нелінійних коливань

1.4. Стохастичні аттрактори

2. Хаотичні коливання

2.1. Перемежана і перехідний хаос

2.2. Консервативний хаос

3. Фізичні експерименти з хаотичними системами

3.1. Хаос в пружній безперервній середі

3.2. Тривимірні пружні стрижні і струни

3.3. Хаос в матричному друкуючому пристрої

3.4. Нелінійні ланцюги

4. Фрактальні властивості хаосу

4.1. Фрактали

4.2. Фрактали і хаос

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Для багатьох вивчення динаміки почалося і закінчилося другим законом Ньютона F = mA. Якщо задані сили, що діють між частками, а також початкові положення і швидкості часток, то за допомогою достатнього великого комп'ютера можна передбачити рух або розвиток системи для будь-якого скільки завгодно пізнього часу. Проте поява великих комп'ютерів і швидких комп'ютерів не привела до обіцяної нескінченної передбаченості в динаміці. Було виявлено що рух деяких дуже простих динамічних систем не завжди можна передбачити на великий інтервал часу. Такі рухи були названі хаотичними , і їх дослідження привабило в динаміку деякі нові математичні ідеї.

Побутове поняття хаосу дуже древньо і часто асоціюється з безладним або некерованим фізичним станом або поведінкою людей. Хаос лякає. Правда, завжди залишається надія дізнатися потаєні сили або причини цього хаосу або пояснити, чому виявляються непередбачуваними події, на вигляд випадкові.

Отже, основна мета даної роботи полягає у вивченні моделей хаосу.

1. Відображення і потоки

1.1 Три образи хаосу

Простим прикладом динамічної моделі, що виявляє хаотичну поведінку є логістичне рівняння, або рівняння зростання популяції:

xn _{+ 1} = axn - bx 2 n (1.1)

Перший член в правій частці описує зростання або народження, а нелінійний член ответствен за обмеження зростання, зв'язане, наприклад, з обмеженістю енергетичних або харчових ресурсів. Якщо нехтувати нелінійним членом (b = 0), то можна виписати явне вирішення лінійного рівняння, що виходить:

xn + ₁ = axn ; xn =x₀ an (1.2)

Це рішення стійке при | а | < 1 і нестійкий при | а | > 1 . У останньому випадку з лінійної теорії виходить нереалістичне передбачення необмеженого зростання.

Нелінійну модель (1.1) зазвичай переписують в безрозмірному вигляді

xn _{+ 1} = _x_n (1 – xn )(1.3)

При _ > 1 є дві точки рівноваги (тобто х = _х ( 1 - х) ). Для з'ясування стійкості відображення х n _{+ 1} = f (х n ) слід обчислити величину нахилу | f’ (x) | у точці спокою. Якщо | f’ | > 1, точка спокою нестійка. При 1 < _ < 3 логістичне рівняння (1.3) має дві точки спокою: х = 0, (_ — 1) /_; при цьому початок координат — нестійка крапка, а друга точка спокою стійка.

Проте при _ = 3 нахил при x = (_ — 1)/ _ перевищує одиницю (f' = 2 - _) і обидві точки рівноваги стають нестійкими. При значеннях параметра _, увязнених між 3 і 4, це просте різницеве рівняння описує безліч багатоперіодичних і хаотичних рухів. При _ = 3 стає нестійким стаціонарне рішення, але залишається стійким бицикл або двоперіодична орбіта. Ця орбіта показана на мал. 1.1. Величинах xn повторюється через кожну ітерацію.

Рис 1.1. Можливі типи вирішень логістичного рівняння (1.3). Вгорі – стаціонарний рух з періодом 1; посередині - рух з періодом 2 і періодом 4; внизу – хаотичний рух.

При подальшому збільшенні _ двоперіодична орбіта стає нестійкою і виникає цикл з періодом 4, який унаслідок біфуркації швидко замінюється циклом з періодом 8 при ще більших значеннях _. Цей процес подвоєння періоду продовжується до тих пір, поки _ не досягає значення __: = 3,56994... . Поблизу цього значення послідовність значень параметра, при яких відбуваються подвоєння періоду, підкоряється точному закону

(1.4)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--