Курсовая работа: Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою й всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою ( - підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор - група будь - якої групи з також належить ;

2) із завжди треба .

Якщо формації й такі, що , то називається підформацією формації .

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх - груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх - груп ( – фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних - груп, клас всіх розв'язних груп, клас всіх розв'язних - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;

2) якщо – деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай – непуста формація. Позначимо через і - корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з , для яких .

Очевидно, - корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою. - корадикал групи позначають інакше через і називають - корадикалом. - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, - розв'язний корадикал, - корадикал і т.д. - корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, - корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай – непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо те

3) якщо й , те

Доказ. Нехай . Тоді

Звідси треба, що . З іншого боку,

звідки одержуємо . З і треба рівність . Твердження 1) доведено.

Нехай – природний гомоморфізм групи на Очевидно,

звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай і – деякі формації. Якщо , то покладемо Якщо , те позначимо через клас всіх тих груп , для яких Клас називається добутком формацій і .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--