Курсовая работа: Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Нехай – центр підгрупи , . Легко бачити, що , причому й ; аналогічно, і . Але тоді , абелева й нормальна в. Якщо , те, де , і якщо , те, що тягне . Отже, . Якщо абелева, те, і ми маємо

Припустимо тепер, що . Ясно, що . Тому що

те нильпотентна щабля . Тому що , те ізоморфна й має щабель , а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання в має щабель . Тому що нормалізує й , те нормальна в. Отже, , причому . По індукції

Для групи і її нильпотентної нормальної підгрупи щабля теорема також вірна по індукції. Тому

Теорема доведена.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.

Доказ. Нехай – підформація формації . Якщо , то по теоремі 2.3 має місце , що й потрібно.

Екрани

Недоліком поняття групової функції є те, що не завжди ущільнення - центрального ряду нормальними підгрупами є - центральним рядом.

Визначення 3.1. Відображення класу всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь - якої групи виконуються наступні умови:

1) – формація;

2) для будь - якого гомоморфізму групи ;

3) .

З умови 2) випливає, що екран приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо – екран, те кожний f - центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f - центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f - центральними рядами, співпадає з формацією .

Лема 3.1. Нехай – екран, – група операторів групи , – деяка нормальна - припустима підгрупа з . Якщо володіє нормальним - припустимим рядом, фактори якого - центральні відносно , то один з таких рядів проходить через .

Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай . Тоді ряд

буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й - ізоморфизми:

Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої непустої множини екранів також є екраном;

2) об'єднання будь - якого непустого ланцюга екранів також є екраном.

Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь - якої групи множина формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання є формацією. Тим самим лема доведена.