Курсовая работа: Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

є добуток груп , причому . Отже, , і лема доведена.

Лема 2.4.

У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.

Визначення 2.3. Клас груп називається класом Фиттинга, якщо він одночасно - замкнутий і - замкнуть.

Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор - група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.

Визначення 2.4. Нехай непустий - замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через і назвемо - радикалом групи добуток всіх її нормальних - підгруп.

Класи є радикальними. - радикал групи – це її підгрупа Фиттинга - радикал позначають інакше через і називають - радикалом. - радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни - нильпотентний радикал, - замкнутий радикал і т.д. Клас усіх - нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним; – це - нильпотентний радикал групи .

Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Теорема 2.1. Нехай і – формації, причому або , або замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді – формація, що збігається з добутком

Визначення 2.5. Нехай – деяка множина груп. Нехай – перетинання всіх тих формацій, які містять клас називається формацією, породженої множиною груп

Помітимо, що операцію часто позначають інакше через Якщо те пишуть замість , причому в цьому випадку називають формацією, породженою групою .

Теорема 2.2. Для будь - якого класу має місце рівність:

Доказ. Якщо , те, і твердження вірно. Нехай . Тому що , те клас є - замкнутим. є клас і по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо

Останнє означає - замкнутість класу . Отже, – формація, що містить , тому що . Виходить, . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.5. Для будь - яких елементів групи виконуються рівності Якщо – підгрупи групи , то виконуються наступні твердження:

1)

2) для будь - якого гомоморфізму групи ; зокрема, якщо група з нормалізує й , те нормалізує й

Лема 2.6 Нехай – підгрупа нильпотентної групи , причому . Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь - якому натуральному виконується включення:

При це вірно, тому що , а виходить, . Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь . Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо

Тим самим (*) доведено.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо – така підгрупа групи , що , то

Доказ. Нехай – нильпотентна нормальна підгрупа групи , а – така підгрупа з , що . Доведемо індукцією по , що . Це вірно, якщо . Тому будемо вважати, що . Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку