Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Ці операції мають наступні властивості:

1. , ідемпотентність

2. , комутативність

3. ,

асоціативність

4. ,

закони поглинання

Теорема . Нехай - множина із двома бінарними операціями , що володіють властивостями (1) – (4). Тоді відношення (або ) є порядком на , а виникаюча впорядкована множина виявляється ґратами, причому:

Доказ.

Рефлективність відносини випливає із властивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):

Якщо й , тобто й , те в силу властивості (2), одержимо . Це означає, що відношення антисиметричне.

Якщо й , то застосовуючи властивість (3), одержимо: , що доводить транзитивність відносини .

Застосовуючи властивості (3), (1), (2), одержимо:

,

.

Отже, і

Якщо й , то використовуючи властивості (1) – (3), маємо:

, тобто

По визначенню верхньої грані переконаємося, що

Із властивостей (2), (4) випливає, що й

Якщо й , то по властивостях (3), (4) одержимо:

Звідси по властивостях (2) і (4) треба, що

, тобто