Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
Ці операції мають наступні властивості:
1. ,
ідемпотентність
2. ,
комутативність
3. ,
асоціативність
4. ,
закони поглинання
Теорема . Нехай - множина із двома бінарними операціями
, що володіють властивостями (1) – (4). Тоді відношення
(або
) є порядком на
, а виникаюча впорядкована множина виявляється ґратами, причому:
Доказ.
Рефлективність відносини випливає із властивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):
Якщо й
, тобто
й
, те в силу властивості (2), одержимо
. Це означає, що відношення
антисиметричне.
Якщо й
, то застосовуючи властивість (3), одержимо:
, що доводить транзитивність відносини
.
Застосовуючи властивості (3), (1), (2), одержимо:
,
.
Отже, і
Якщо й
, то використовуючи властивості (1) – (3), маємо:
, тобто
По визначенню верхньої грані переконаємося, що
Із властивостей (2), (4) випливає, що й
Якщо й
, то по властивостях (3), (4) одержимо:
Звідси по властивостях (2) і (4) треба, що
, тобто