Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Таким чином, топологічний простір – це пари < , >, де - така множина підмножин в , що й замкнуто щодо кінцевих перетинань і довільних об'єднань. Множини з називають відкритими, а їхнього доповнення в замкнутими.

Визначення: Простір називається компактним , якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.

Визначення: Підмножина простору називається компактним , якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.

Визначення: Топологічний простір називається - простором , якщо для будь-яких двох різних його крапок існує відкрита множина, що містить рівно одну із цих крапок.

Розділ 2

1. Верхні напівґрати

Визначення: множина називається верхніми напівґратами , якщо sup{a,b} існує для будь-яких елементів a і b.

Визначення: Непуста множина I верхніх напівґрат L називається ідеалом , якщо для будь-яких включення має місце тоді й тільки тоді, коли .

Визначення : Верхні напівґрати називаються дистрибутивної , якщо нерівність ≤ ( , , L) спричиняє існування елементів , таких, що , , і = .(мал.1). Помітимо, що елементи й не обов'язково єдині.

Деякі найпростіші властивості дистрибутивних верхніх напівґрат дає:

Лема 1 :

(*). Якщо < , > - довільні напівґрати, то верхні напівґрати дистрибутивна тоді й тільки тоді, коли ґрати дистрибутивна.

(**). Якщо верхні напівґрати дистрибутивна, то для будь-яких існує елемент , такий, що й . Отже, множина є ґратами.

(***). Верхні напівґрати дистрибутивна тоді й тільки тоді, коли множина є дистрибутивними ґратами.

Доказ.

(*). < , > - дистрибутивна й , те для елементів , , справедлива рівність :

виходить, напівґрати < , > - дистрибутивна.

< , > - дистрибутивна. Нехай ґрати містять діамант або пентагон (мал.2).

1) Нехай ґрати містять пентагон, . Потрібно знайти такі елементи й , щоб виконувалася рівність . Але множина елементів менших b або c складається з елементів {0,b,c} і їхня нижня границя не дасть a. Одержали протиріччя з тим, що < , > - дистрибутивна. Виходить, наше припущення невірно й ґрати не містять пентагона.

2) Нехай ґрати містять діамант, . Аналогічно, множина елементів менших b або c складається з елементів {0,b,c}, їхня нижня границя не дасть a. Виходить, ґрати не містять діаманта.

Можна зробити висновок, що ґрати дистрибутивна.

(**). Маємо , тому , де (по визначенню дистрибутивних напівґрат). Крім того, є нижньою границею елементів і .

Розглянемо ідеали, що містять елемент і - і . Тоді Ø ,тому що , нижня границя елементів a і b , утримується там.

Покажемо, що I(L) – ґрати, тобто існують точні нижня й верхня грані для будь-яких A і B.

Покажемо, що збігається з перетинанням ідеалів A і B. По-перше, - ідеал. Дійсно, і й По-друге, нехай ідеал і . Тоді , тобто - точна нижня грань ідеалів A і B, тобто .

Тепер покажемо, що збігається з перетинанням всіх ідеалів , що містять A і B. Позначимо . Оскільки для для , те C ідеал. По визначенню C він буде найменшим ідеалом, що містить A і B.