Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Тоді множини виду вичерпують всі відкриті множини в стоуновом просторі SpecL.

Доказ.

Потрібно перевірити виконання аксіом топологічного простору.

1) Розглянемо ідеал, утворений 0. Тоді

,

але 0 лежить у будь-якому ідеалі, а значить .

2) Візьмемо довільні ідеали й напівґрати й розглянемо

Нехай . Тоді існують елементи a і Звідси треба, що , де L\P – коідеал. По визначенню коідеала існує елемент d такий, що й , виходить, . Так як. , отже, . Одержуємо, що .

Зворотне включення очевидно.

2) Нехай - довільне сімейство ідеалів. Через позначимо множину всіх точних верхніх граней кінцевого числа елементів, що є представниками сімейства . Покажемо, що - ідеал. Нехай , тоді , де для деякого ідеалу . Тоді лежить в ідеалі , отже, і , тобто . Обернено очевидно.

Довели, що - ідеал. Тепер розглянемо довільне об'єднання.

■

Лема 4 : Підмножини виду простору можна охарактеризувати як компактні відкриті множини.

Доказ.

Дійсно, якщо сімейство відкритих множин покриває множина , тобто , те Звідси треба, що для деякої кінцевої підмножини , тому . Таким чином, множина компактно.

Нехай відкрита множина r(I) компактно, тоді й можна виділити кінцеве під покриття для деяких .

Покажемо, що I породжується елементом .

Припустимо, що це не так, і в ідеалі I найдеться елемент b не лежачий в. Тоді [b) – коідеал, не пересічний с. По лемі 2 найдеться простий ідеал P утримуючий і не пересічний з [b). Одержуємо, , тому що (тобто ), але , тому що , протиріччя. Отже, компактною відкритою множиною r(I) буде тільки у випадку, якщо - головний ідеал.

Пропозиція 5: Простір є - простором.

Доказ.

Розглянемо два різних простих ідеали й Q . Хоча б один не втримується в іншому. Допустимо для визначеності, що . Тоді r(P) містить Q , але не містить P, тобто SpecL є - простором. :

Теорема 6 : Стоуновий простір визначає напівґрати з точністю до ізоморфізму.

Доказ.

Потрібно показати, що двоє напівґрат і ізоморфні тоді й тільки тоді, коли простори й гомеоморфни.

Очевидно, якщо ґрати ізоморфні, то простору, утворені цими напівґратами будуть збігатися.

Нехай і гомеоморфни ( ) і . Тоді a визначає компактна відкрита множина r(a) . Множині r(a) відповідає компактна відкрита множина , з однозначно певним елементом по лемі 4. У такий спосіб одержуємо відображення : , при якому . Покажемо, що - ізоморфізм ґрат. Якщо a,b – різні елементи з , те, отже, , тому й - ін'єкція.

Для довільного відкритій множині відповідає й очевидно, що показує сюрективність .

Нехай a,b – довільні елементи з . Помітимо, що . Відкритій множині при гомеоморфізмі відповідає відкрита множина , а відповідає . Отже, = . Оскільки = , те, тобто