Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Зміст

Розділ 1

1. Упорядковані множини

2. Ґрати

3. Дистрибутивні ґрати

4. Топологічні простори

Розділ 2

1. Верхні напівґрати

2. Стоуновий простір

Висновок

Список літератури

Розділ 1

1. Упорядковані множини

Визначення: Упорядкованою множиною називається непуста множина, на якої визначене бінарне відношення , що задовольняє для всіх наступним умовам:

1. Рефлективність: .

2. Антисиметричність: якщо й , те .

3. Транзитивність: якщо й , те .

Якщо й , то говорять, що менше або більше , і пишуть або .

Приклади впорядкованих множин:

Множина цілих позитивних чисел, а означає, що ділить .

Множина всіх дійсних функцій на відрізку й

означає, що для .

Визначення: Ланцюгом називаєтьсявпорядкована множина, на якої для має місце або .

Використовуючи відношення порядку, можна одержати графічне подання будь-якого кінцевого впорядковання множини . Зобразимо кожний елемент множини у вигляді невеликого кружка, розташовуючи вище , якщо . З'єднаємо й відрізком. Отримана фігура називається діаграмою впорядкованої множини .

Приклади діаграм упорядкованих множин:

2. Ґрати

Визначення: Верхньою гранню підмножини в упорядкованій множині називається елемент із , більший або рівний усіх з .

Визначення: Точна верхня грань підмножини впорядкованої множини – це така іі верхня грань, що менше будь-який інший іі верхньої грані. Позначається символом і читається «супремум X».

Відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вона єдина.

Поняття нижньої грані й точної грані (яка позначається й читається «інфинум»). Також, відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна нижня грань існує, то вона єдина.

Визначення: Ґратами називається впорядкована множина , у якому будь-які два елементи й мають точну нижню грань, позначувану , і точну верхню грань, позначувану .

Приклади ґрат:

1. Будь-який ланцюг є ґратами, тому що збігається з меншим, а з більшим з елементів .

2.

Найбільший елемент, тобто елемент, більшого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають , а найменший елемент, тобто меншого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають .

На ґратах можна розглядати дві бінарні операції:

- додавання й

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--