Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
.
Нехай , тобто
(мал.3), для деяких
Зрозуміло, що . По дистрибутивності, існують
такі, що
. Т.к. A – ідеал, те
, тому що
. Аналогічно,
. Т.е.
. Точно також,
. Якщо
, то легко показати, що
.
Довели, що - ідеал. Очевидно, він є верхньою гранню ідеалів A і B. Якщо C містить A і B , то C буде містити елементи
для будь-яких
, тобто
Тому
, оскільки
є верхньою гранню ідеалів A і B і втримується в будь-який верхній грані.
Тепер покажемо, що виконується рівність:
.
. Нехай
, де
,
.
, те
, звідки
й отже
. Аналогічно,
, виходить,
. Нехай
,де
.
Звідси треба дистрибутивність ґрати .
– дистрибутивні ґрати,
. Тепер розглянемо ідеали, утворені цими елементами:
( ,буде нижньою границею для
). Тому
, що й доводить дистрибутивність напівґрат
. :
2. Стоуновий простір
Визначення : Підмножина верхніх напівґрат
називається коідеалом , якщо
з нерівності
треба
й
існує нижня границя
множини
, така, що
.
Визначення: Ідеал напівґрати
називаються простим , якщо
й множина
є коідеалом.
Надалі нам буде потрібно лема Цорна, що є еквівалентним твердженням аксіомі вибору.
Лема Цорна. Нехай A – множина й X – непуста підмножина множини P(A). Припустимо, що X має наступну властивість: якщо C – ланцюг в < >, те
. Тоді X має максимальний елемент.
Лема 2 : Нехай – довільний ідеал і
– непустий коідеал дистрибутивних верхніх напівґрат
. Якщо
, то в напівґратах
існує простий ідеал
такий, що
й
.
Доказ.
Нехай X – множина всіх ідеалів в L, що містять I і не пересічних з D . Покажемо, що X задовольняє лемі Цорна.
Нехай C – довільний ланцюг в X і Якщо
, те
для деяких
Нехай для визначеності
. Тоді
й
, тому що
- ідеал. Тому
. Обернено, нехай
, тоді
, для якогось
Одержуємо
, звідки
.
Довели, що M – ідеал, мабуть, що містить I і не пересічний з D , тобто . По лемі Цорна X має максимальний елемент, тобто максимальним ідеалом P серед утримуючих I і не пересічних з D.
Покажемо, що P – простій. Для цього досить довести, що L\P є коідеалом. Нехай L\P і
. Оскільки
, те
, інакше в противному випадку
по визначенню ідеалу. Отже,
. Якщо
, то
й
пересічних з D у силу максимальності P. Одержуємо
й
для деяких елементів
. Існує елемент
такий, що
й
, по визначенню коідеала, отже
й
для деяких
Помітимо, що
й
не лежать в P, тому що в противному випадку
.
Далі, , тому
для деяких
і
. Як і колись
. Крім того
, тому
- нижня грань елементів a і b, що не лежить в P . :
Надалі, через будемо позначати дистрибутивні верхні напівґрати з нулем, через
множину всіх простих ідеалів напівґрати
.
Множини виду представляють елементи напівґрат
у ч.в. множині
(тобто
). Зробимо всі такі множини відкритими в деякій топології.
Позначимо через топологічний простір, певний на множині
. Простір SpecL будемо називати стоуновим простором напівґрат L.
Лема 3 : Для будь-якого ідеалу I напівґрати L покладемо: