Курсовая работа: Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

(1.21)

Формула (1.21) є кінцевим виразом для другої інтерполяційної формули Ньютона.

Похибка інтерполяції для другої формули Ньютона можна оцінити відповідно як:

(1.22)

де (1.23)

1.3.4 Інтерполювання функцій за схемою Ейткіна

Особливістю інтерполяційної схеми Ейткіна є однотипність обчислень. Якщо в (n+1)-му вузлах інтерполювання x_i (i=0,1,…,n) функція f набуває значеньy_i (i=0,1,…,n),то значення інтерполяційного многочлена степеня n в точці , що не зберігається з вузлами інтерполювання, обчислюють за формулою Ейткіна:

(1.24)

де і – значення інтерполяційних многочленів (n-1)-го степеня, обчислених у точці х на попередньому кроці обчислень.

Отже, щоб обчислити в точці х значення інтерполяційного многочлена n-го степеня за схемою Ейткіна, треба в цій точці обчислити значення n лінійних, n-1 квадратичних, n-2 кубічних многочленів, два многочлени (n-1)-го степеня і, нарешті, один многочлен n-го степеня.

1.3.5 Сплайн-інтерполяція

Сплайн – це група сполучених кубічних багаточленів, в місцях сполучення яких перша та друга похідні безперервні. Такі функції звуться кубічними сплайнами. Для їх побудування необхідно задати коефіцієнти, які однозначно визначають поліном у проміжку між двома точками.

Наприклад, у випадку, який показаний на рисунку 1.3.1, необхідно задати всі кубічні функції В найбільш загальному випадку ці багаточлени мають такий вигляд:

i=1,2, ... ,m (1.25)

де – постійні, які визначені вказаними умовами (j= 1,2,3,4 ).

Перші (2m ) умов потребують, щоб сплайни стикалися в заданих точках:

,i=1, 2, ... , m ,

, i=0, 1, ... , m-1 . (1.26)

Наступні (2m-2) умов потребують, щоб в місцях дотику сплайнів були рівні перші та другі похідні

i=1, ... , m-1 , (1.27)

i=1, ... , m-1.

Система алгебраїчних рівнянь має розв’язок, якщо кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих. Для цього необхідні ще два рівняння. Як правило, використовують такі додаткові умови:

(1.28)

Отриманий таким чином сплайн зветься “природним кубічним сплайном”.

В багатьох випадках метод сплайнів є найбільш зручним, тому що це дозволяє отримати аналітичну кусково-поліноміальну функцію. Існують сплайни більш вищих порядків. Вживання цього методу можливо і в інших галузях обчислювальної математики, наприклад, в чисельному інтегруванні і розв’язанні диференціальних рівнянь.

1.4 Уточнена постановка задачі

Нехай на відрізку [а; b] визначено певний клас функцій {Р(х)}, наприклад клас алгебраїчних многочленів, а в точках х₀ , х₁ ,..., х_n цього проміжку задано значення деякої функції y=f(x): y₀ =f(x₀ ), y₁ =f(x₁ ),….y_n =f(x_n ). Наближену заміну функції f на відрізку [а; b] однією з функцій Р(х) цього класу так, щоб функція P(х) в точках x₀ ,x₁ , ..., x_n набувала тих самих значень, що й функція f, тобто щоб Р(x_i )= у_i (і = 0, 1, ..., n), називають інтерполюванням, або інтерполяцією. Точки х₀ , х_i , ..., х_п називають вузлами інтерполювання, функцію Р(х) — інтерполюючою функцією, а формулy у=P(х), за допомогою якої обчислюють значення функції f у проміжку [а;b], — інтерполяційною формулою.