Курсовая работа: Единое пересечение кривых в пространстве

F′(x′, y ′) = а′₂₂ у′ ² + а′₁₁ х′ ² + 2а′₁ x ′ + а′₀ =0 (8)

F′ (x′, y′) = b′₂₂ y′ ² + b′₁₁ x′ ² + 2b′₁ y′ + b′₀ = 0 (9)

Здесь a ′₂₂ ≠0 (и b ′₂₂ ≠0 ), в противном случае единичный вектор {0, 1} оси у' , удовлетворяющий уравнению

φ′ (x′, y ′) = а′₁₁ х′ ² + а′₂₂ у′ ² = 0,

имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С с осью у' = 0 обозначим через C ⁰ . Возможны следующие случаи:

1° Множество С ⁰ пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из

f(x') = a′₁₁ x′ ² +2a′₁ x′+a′₀ = 0

f (x') = b′₁₁ x′ ² +2b′₁ x′+b′₀ = 0

противоречиво, т. е.

Множество C ⁰ пусто

Сногочленовf(x'), f (x') тождественно равен отличной от нуля постояннойа'₀ , соответственно b ′₀ .

2° Множество С⁰ совпадает со всей прямой у' = 0 . Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x'), f (x') тождественно равен нулю.

Множество C ⁰ совпадает с прямой y ′ o ′

3° Ни одни из случаев 1⁰ , 2⁰ не имеет места. Тогда множество С ⁰ состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения

a ′₁₁ x ′ ² +2 a ′₁ x ′+ a ′₀ = 0 (10)

так и уравнения

b ′₁₁ x ′ ² +2 b ′₁ x ′+ b ′₀ = 0 (11)

Множество C ⁰ состоит из одной точки А

Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некоторомμ ≠ 0 имеем

b′₁₁ x′ ² +2b′₁ x′+b′₀ = μ (a′₁₁ x′ ² +2a′₁ x′+a′₀ )

и, значит, полагая λ= b ′₂₂ : a ′₂₂ , имеем

F′(x′, y ′) = а′₂₂ у′ ² + (а′₁₁ х′ ² + 2а′₁ x ′ + а′₀ ) ,

F′ (x′, y′) = λb′₂₂ y′ ² + μ(b′₁₁ x′ ² + 2b′₁ y′ + b′₀ )

Докажем, что λ = μ . Для этого дадим переменному х' значение x ′= x ′₁ , являющаяся корнем уравнения

а′₁₁ х′ ² + 2а′₁ x ′ + а′₀ =1

и найдем значение y ′ , удовлетворяющее уравнению

F′(x′₁ , y ′) = а′₂₂ у′ ² + 1 = 0

т. е. y ′₁ = ± ( - 1 : a ′₂₂ )^0,5 .

Значит, точка (x ′₁ , y ′₁ ) принадлежит множеству С ; следовательно,

F ′(x′₁ , y ′₁ ) = λ а′₂₂ у′ ² + μ · 1= λ а′₂₂ ( - 1 : a ′₂₂ )+ μ = 0

т. е. λ=μ , и F ′(x′, y ′)=λF′(x′, y ′) , значит, и

F (x, y )=λF(x, y ).