Курсовая работа: Единое пересечение кривых в пространстве

и

F₂ (х, y , z)=0 (15)

Берем какое-нибудь направление {α: β: γ}, неасимптотическое для поверхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).

Диаметральная плоскость π поверхности (14), сопряженная направлению {α: β: γ}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому же направлению.

Возьмем теперь систему координат O'x'y'z' , ось z' которой имеет направление {α: β: γ}, а две другие оси лежат в плоскости π. В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид

F′₁ (x′, у ′, z′)=a′₃₃ z′ ² +f′₁ (x′, y′) = 0 (16)

F′₂ (x′, у ′, z′)=a′₃₃ z′ ² +f′₂ (x′, y′) = 0 (17)

где

f′₁ (x′, y′)=a′₁₁ x′ ² + 2a′₁₂ x′y′ + a′₂₂ y′ ² +2a′₁ x′ + 2a′₂ y′ +a′₀

f′₂ (x′, y′)=b′₁₁ x′ ² + 2b′₁₂ x′y′ + b′₂₂ y′ ² +2b′₁ x′ + 2b′₂ y′ +b′₀

Здесь a ′₃₃ ≠ 0 (и b ′₃₃ ≠ 0 ), в противном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z' , удовлетворяя уравнению

φ′₁ (x′, у ′, z′)= a′₁₁ x′ ² + 2a′₁₂ x′y′ + a′₂₂ y′ ² + a′₃₃ z′ ² = 0 ,

был бы вектором асимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) — вопреки нашим предположениям.

Нам надо доказать пропорциональность многочленов F₁ (x, у, z) и F₂ (х, y , z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F ′₁ ( x ′, у′, z ′) и F ′₂ ( x ′, у′, z ′). Для этого обозначим через С⁰ пересечение множества С с плоскостью z' = 0 . Множество С⁰ есть множество всех точек плоскости О'х'у' , в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов f ′₁ ( x ′, y ′) , f ′₂ ( x ′, y ′). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О'х'у' ) нулевое многообразие каждого из этих многочленов.

Возможны следующие случаи:

1° Множество С⁰ пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f ′₁ ( x ′, y ′)=0 , f ′₂ ( x ′, y ′)=0 противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f ′₁ ( x ′, y ′) , f ′₂ ( x ′, y ′) тождественно равен отличной от нуля постоянной а'₀ , соответственно b ₀ '„.

2° Множество совпадает со всей плоскостью О'х'у '. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f ′₁ ( x ′, y ′), f ′₂ ( x ′, y ′) тождественно равен нулю.

3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С⁰ есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости О'х'у' каждым из уравнений

f ′₁ ( x ′, y ′)=0 , f ′₂ ( x ′, y ′)=0 . (18)

В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем f ′₂ ( x ′, y ′) = μ f ′₁ ( x ′, y ′) при некотором μ≠0 . Полагая λ = z ′₃₃ : a ′₃₃ (что возможно, так как a ′₃₃ ≠0 ), можем написать

F′₁ (x′, у ′, z′) = a′₃₃ z′ ² + f′₁ (x′, y′) ,

F′₂ (x′, у ′, z′) =λ a′₃₃ z′ ² +μ f′₂ (x′, y′) ,

Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов F ′₁ ( x ′, у′, z ′) и F ′₂ ( x ′, у′, z ′) , надо только показать, что μ = λ .. Так как многочлен f ′₁ ( x ′, y ′) , не равен тождественно постоянной, то существуют значения x ′= x ′₁ , у' = у'₁ , для которых f ′₁ ( x ′₁ , у'₁₎ . Найдя такие значения, решаем относительно z' уравнение

F ′₁ ( x ′₁ , у′₁ , z ′₁ ) = a ′₃₃ z ′ ² + 1 = 0

Получаем z ′₁ = (1 : a ′₃₃ )^0,5 . Итак, точка M ₁ = ( x ′₁ , у′₁ , z ′₁ ) принадлежит множеству С. Следовательно,

F′₂ (x′₁ , у ′₁ , z′₁ ) = λ a′₃₃ (1 : a′₃₃ ) + μ 1 = 0 , т. е. μ = λ.

Итак, в случае 3° утверждение теоремы 3 доказано. В случае 2° имеем

F ′₁ ( x ′, у′, z ′)= a ′₃₃ z ′ ² , a ′₃₃ ≠0,

F ′₂ ( x ′, у′, z ′)= b ′₃₃ z ′ ² , b ′₃₃ ≠0