Курсовая работа: Еліптичні інтеграли

так, що функції є раціональними, то в інтегралі (1) стає можливою раціоналізація підінтегрального виразу: підстановкою вона зводиться до виду

.

До цього класу відносяться обидва вище згадані випадки. В окремому випадку, можливість раціоналізації підінтегрального виразу в інтегралі типу (3) зв’язана безпосередньо з тим фактом, що крива другого порядку унікурсальна.

Очевидно, що змінні x і t зв’язані алгебраїчним рівнянням, так що t являється алгебраїчною функцією від х. Якщо розширити клас елементарних функцій, включаючи в нього і всі алгебраїчні функції, то можна сказати, що в випадку унікурсальності кривої (2), інтеграл (1) завжди виражається через елементарні функції в кінцевому виді.

Але подібні обставини являються в деякому розумінні винятком. В загальному випадку крива (2) не унікурсальна, тоді ж, як можна довести, інтеграл (1) заздалегідь не завжди, тобто не при всякій функції R, може бути вираженим в кінцевому виді (проте не виключена можливість цього при окремих конкретних R).

З цим ми зустрічаємося уже при розгляді важливого класу інтегралів

(4)

які містять квадратний корінь з многочленів 3-ої або 4-ої степені і звичайно прилягаючих до інтегралів (3). Інтеграли виду (4) , як правило , уже не виражаються в кінцевому вигляді через елементарні функції навіть при розширеному розумінні цього терміну. Тому, знайомство з ними ми віднесли до заключного параграфу, щоб не переривати головної лінії викладення даної глави, присвяченої, головним чином вивченню класів інтегралів, що беруться в кінцевому вигляді.

Многочлени під коренем в (4) передбачаються такими, що мають дійсні коефіцієнти. Крім того, ми завжди будемо вважати, що у них не має кратних коренів, бо інакше, можна було б винести лінійний множник з під знаку кореня; питання звелося б до інтегрування виразу раніше вивчених типів, і інтеграл виразився б у кінцевому вигляді. Кінцева обставина може мати місце інколи і при відсутності кратних коренів; наприклад, легко перевірити, що

Інтеграли від виразів типу (4) взагалі називають еліптичними в зв’язку з тією обставиною, що вперше з ними зіткнулися при розв’язанні задачі про спрямування еліпсу:

Еліпс:

Зручніше буде взяти рівняння еліпса в параметричній формі , . Очевидно,

де - числовий ексцентриситет еліпса.

Обчислюючи довжину дуги еліпса від верхнього кінця малої осі до будь-якої його точки в першому квадранті, отримаємо

,

Таким чином, довжина дуги еліпса виражається еліптичним інтегралом 2-го роду; як вказувалося, цей факт послужив поводом для самої назви „еліптичний”.

В частковому випадку, довжина чверті обводу еліпса виражається через повний еліптичний інтеграл

.

Між іншим, цю назву, в прямому розумінні, відносять зазвичай лише до таких із них, що не беруться в кінцевому вигляді; інші ж, подібні тільки що приведеним, називають псевдоеліптичними.

Вивчення і табулювання ( тобто складання таблиць значень) інтегралів від виразів (4) при довільних коефіцієнтах a, b, c,…, розуміється складно. Тому звичайно бажання звести всі ці інтеграли, до небагатьох таких, до складу яких входило б по можливості менше довільних коефіцієнтів (параметрів).

Це досягається за допомогою елементарних перетворень, які ми розглянемо в наступних пунктах.

2. Допоміжні перетворення

Зазначимо перш за все, що достатньо обмежитися випадком многочлена 4-ї степені під коренем, так як до нього легко приводиться випадок, коли під коренем многочлен 3-ї степені.

Розглянемо, взагалі, алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами)