Курсовая работа: Еліптичні інтеграли

При достатньо великих по абсолютній величині значеннях xмногочлен має знак старшого члена, тобто при додатному x – знак , а при від’ємному x – обернений знак. Так, як многочлен це неперервна функція, то, міняючи знак, він в проміжній точці необхідно перетворюється в 0. Звідси: всяке алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами) має принаймні один дійсний корінь.

Дійсно, многочлен 3-ї степені з дійсними коефіцієнтами необхідно має дійсний корінь, скажемо λ, і, відповідно, допускає дійсне розкладання

Підстановка ( або ) і здійснює потрібне приведення

В першу чергу ми будемо розглядати лише диференціали, що мають корінь із многочленів 4-ї степені.

По відомій теоремі алгебри, многочлен четвертої степені з дійсними коефіцієнтами може бути представленим у виді добутку двох квадратних трьохчленів з дійсними коефіцієнтами:

(5)

Постараємось тепер необхідною підстановкою знищити в обох трьохчленах відразу члени першої степені.

Якщо р=р’, то наша ціль досягається простою підстановкою . Нехай тепер ; в цьому випадку ми скористаємось дробно-лінійною підстановкою

Можливість встановити дійсні і при чому різні значення для коефіцієнтів μ і ν зумовлена нерівністю

(6)

Нехай же тепер трьохчлени (5) обидва мають дійсні корені, скажемо, перший – корені α і β, а другий корені γ і δ. Підставляючи

можна переписати (6) у вигляді

(6ґ)

а для здійснення цієї нерівності достатньо лише потурбуватися, щоб корені трьохчленів не перемежались (наприклад, щоб було α > β > γ > δ ), що в наших можливостях.

Таким чином, належно вибравши μ і ν, за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо

що можна також (якщо виключити випадки, коли який-небудь з коефіцієнтів M, N, M’, N’ виявляються нулем) переписати у виді

при А, m іm’ відмінних від нуля.

Цей інтеграл можна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого

Розкладемо тепер раціональну функцію R*(t) на два доданки

Перший доданок не міняє свого значення при заміні tна –t, значить, зводиться до раціональної функції від : ; другий же при вказаній заміні міняє знак, і тому має вид Розглянутий інтеграл представиться в формі суми інтегралів