Курсовая работа: Еліптичні інтеграли

і береться в кінцевому виді. Таким чином, подальшому дослідженню підлягає тільки інтеграл

(7)

3. Приведення до канонічної форми

Покажемо, нарешті, що кожен інтеграл типу (7) може бути представленим у формі

(8)

де k – деякий додатній правильний дріб: 0<k<1. Назвемо цю форму канонічною.

Введемо скорочено

Не зменшуючи загальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеності обмежимося додатніми значеннями t. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m’ і вкажемо для кожного випадку підстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (7) в канонічну форму.

1) А = +1, (). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, необхідно, щоб було або Припускаємо, що

де 0<z<1 або

Тоді

так, що за kтут треба прийняти

2) А = +1, (h, h’>0). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, обмежимося значеннями .

Припускаємо, що

де 0 < z ≤ 1.

Тоді

і можна взяти

3) А = +1, (h>h’>0). Зміна tнічим не обмежена. Припустимо

де 0≤z<1.

В цьому випадку

і

4) А = -1, (h, h’>0).Зміна tобмежена нерівністю . Беремо

, де 0<z<1 ,

так, що