Курсовая работа: Фактор группы Cмежные классы

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.

Тогда

áаñ ={e, a, a, … , a}

Кроме того, а= e в точности тогда, когда k делит m.

ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической группы G = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á аñ для каждого натурального m.

ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы áаñ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами á аñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.

ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда hhH и hH.

2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

2.1 Правые и левые смежные классы

Пусть G– группа, H – ее подгруппа и gÎG.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным классом группы Gпо подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH} всех элементов группы G вида hg , где h “пробегает” все элементы подгруппы H.

Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.

ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H – подгруппа. Тогда справедливы утверждения:

1) H=He;

2) gÎHg для каждого gÎG;

3) если aÎH, то Ha=H; если bÎHa , то Hb=Ha;

4) Ha=Hb тогда и только тогда, когда abÎH;

5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;

6) если H– конечная подгруппа, то | Hg| = | H| для всех gÎG.

Доказательство

Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса

(4) Если Ha= Hb, то ea= hb, hÎH и ab= hÎH. Обратно, если abÎH, то aÎHb и Ha=Hb по утверждению 3.

(5) Пусть HaÇHb ≠Æи cÎHaÇHb. Тогда c=a=b и ab=ÎH. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).

(6) Для каждого gÎG отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H| = | Hg|

Ч.т.д.

Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H. Это свойство позволяет ввести следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называется правой трансверсалью подгруппы H в группе G , если T содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы G по подгруппе H .Итак, если T= { | aÎI} –правая трансверсаль подгруппы H в группе G, то G= , HÆпри .

Таким образом, справедлива теорема.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, тоGявляется подгруппой непересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.