Курсовая работа: Фактор группы Cмежные классы

Ч.т.д.

СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.

Если HG и h H, то hÍ H. Обратно, если hÍ H для всех h H, то HG.

Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H £ K £ G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x K.

Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.

3.2 Фактор-группы

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x Î G}. Положим

(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)

Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = xH, yH = yH для некоторых x, yÎ G, то x = xh, y = =yg, h и g Î H. Поэтому

(xH)(yH) = xyH = (xh)(yg)H = xy(yhy)gH = xyH,

т.к. yhy ÎH по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.

Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент aH — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность = {xH | x Î G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией

(xH)(yH) = xyH

образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH) = aH.

Группа называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.

Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.

Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.

|G/H |=| G : H |=| G | / | H |

ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.

Доказательство.

Пусть G/Z(G) = á gZ(G)ñ циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = gz, b = gz, z, zÎZ(G), k, lÎZ

и

ab = gzgz = ggzz = ggzz = gzgz = ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы á аñ исчерпываются бесконечной циклической группой á аñ / E »á а ñ и конечными циклическими группами áaáаññ порядка m для каждого натурального числа m.

Доказательство.

По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = á аñ, m Î N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.

Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a | k Î Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов aM, k Î Z. Если два смежных класса совпадут aM = aM, то aÎM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, aM, . , aM попарно различны. Кроме того, для любого aM Î A/M имеем: