Курсовая работа: Фактор группы Cмежные классы

Но s и s– элементы из правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s= s и b = d. Теперь

ts(ts) = ttÎH, H t=Ht

и a = c. Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G по подгруппе H и TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали этой подгруппы, то

|G : H |=| TS |=| T | | S |=| K : H || G : K |

Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы 2.1.4. при H=E.

2.3. Двойные смежные классы

Пусть H и K– подгруппы группы G и gÎG. Множество

HgK={ hgk | hÎH, kÎK}

называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K

ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Каждый элемент gÎG содержится в единственном двойном смежном классе HgK;

2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;

3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;

4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;

5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит

| K: HK| правых смежных классов по H и | H: HK| левых смежных классов по К.

Доказательство.

(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то

g=egeÎHgK

Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxk для некоторых hÎH, kÎK и

HgK=H(hxk)K=HxK.

(2) и (3) следуют из (1)

(4)Так как

HgK==,

то утверждение (4) доказано.

Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK= по подгруппе H. Допустим, что Hgk=Hgk. Тогда

Hgkk= Hg и kkÎgHgK=HK

Справедливо и обратное, т.е. если kkÎHK, то

kkÎgHg, gkkÎHg, gkÎHgk