Курсовая работа: Фактор группы Cмежные классы

Такимобразом,

A/M = {M, aM, aM, . . . , aM} = áaMñ,

т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañ порядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáаññ порядка m для каждого натурального m, делящего n.

Доказательство .

По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañпорядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = á аñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что

A/M = áaMñ = {aM, aM, . . . , aM,M},

т.е. A/M=áaáаññ будет циклической группой порядка m.

Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.

ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то = U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;

2) каждая подгруппа фактор-группы = G/H имеет вид = V/H, где V— подгруппа группы G и H £V ;

3) отображение : U → является биекцией множества S(G,H) на множество S();

4) если N Î S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.

Доказательство.

(1) Пусть U Î S(G,H) и пусть ={uH | u Î U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если uH, uH ÎÎ, то u, uÎ U, а так как U — подгруппа, то uuÎ U и uÎ U. Поэтому,

(uH)(uH) = uuH Î, (uH)= u H Î

и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность – подгруппа группы .

(2) Пусть — произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие , т.е. V = {x Î G | xH Î }. Если v, vÎ V, то vH, vH Î , а так как — подгруппа, то

(vH)( vH) = v vH Î и (vH) = v H Î

Следовательно, v vÎ V и vÎ V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ

(3) Отображение : U → будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что – инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы = {uH | u Î U} и = { vH | v Î V } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент v Î V такой, что uH = vH. Поэтому vu Î H ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и — инъекция.

(4) Если NG, NÎS(G,H), то

(gH) (nH)(gH) = gngH Î N/H

для всех g Î G, n Î N. Поэтому = N/H . Обратно, если , то

gngH = (gH) (nH)(gH) Î

и gngHÎN, значит N G.

Пример: Найдем все фактор-группы группы S.