Курсовая работа: Гипергеометрическое уравнение

Сумма ряда

F(, , ,z) = , <1 (1.1)

называется гипергеометрической функцией.

Данное определение гипергеометрической функции пригодно лишь для значений z, принадлежащих кругу сходимости, однако в дальнейшем будет показано, что существует функция комплексного переменного z, регулярная в плоскости с разрезом (1, ) которая при <1 совпадает с F(, , ,z). Эта функция является аналитическим продолжением F(, , ,z) в разрезанную плоскость и обозначается тем же символом.

Чтобы выполнить аналитическое продолжение предположим сначала что R()>R()>0 и воспользуемся интегральным представлением

(1.2)

k=0,1,2,..

Подставляя (1.2) в (1.1) находим

F(, , ,z) = = =,

причем законность изменения порядка интегрирования и суммирования вытекает из абсолютной сходимости.

Действительно, при R()>R() >0 и <1

=

=F(, R(),R(),)

На основании известного биноминального разложения

=(1-tz)^{- a} (1.3)

0t1,<1

поэтому для F(, , ,z) получается представление

F(, , ,z)= (1.4)

R()>R() >0 и <1

Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства сохраняет смысл и представляет регулярную функцию комплексного переменного zв плоскости с разрезом (1, ).

Для zпринадлежащих области , (R– произвольно большое, и произвольно малые положительные числа), и 0 < t< 1 подынтегральное выражение есть регулярная функция zи непрерывная функция t ; поэтомудостаточно показать что интеграл сходится равномерно в рассматриваемой области. Доказательство следует из оценки

(М – верхняя граница модуля функции (1-tz)^{- a} , непрерывной в замкнутой области , , 0t1), которая показывает, сходимость интеграла будет мажорированной, то есть при R()>R() >0 интеграл сходится.

Таким образом, условие <1 в (1.4) может быть отброшено, и искомое аналитическое продолжение гипергеометрической функции в разрезанную плоскость дается формулой

F(, , ,z)= (1.5)

R()>R() >0;

В общем случае, когда параметры имеют произвольные значения, аналитическое продолжение F(, , ,z) плоскость с размером (1, ) может быть получено в форме контурного интеграла, к которому приводит суммирование ряда (1.1) с помощью теории вычетов.

Более элементарный метод продолжения, не дающий, однако, возможность получить в явной форме общее аналитическое выражение гипергеометрической функции, заключается в использовании рекуррентного соотношения (1.6)

F(, , ,z)=+