Курсовая работа: Гипергеометрическое уравнение
(
-
-1)F+F (-1)-(- 1)F(-1)=
=
{(--1) 
+
-(- 1) } zk =
={-
-1+
( + k )- 
(+k-1)}zk =0,
(1-z)F-F (-1)+(- 
)zF(+1)=
={-
-
+(- )
} zk
=
{
(+k-1)( +k-1)-k(+k-1)- (+k-1)(-1)+k
(-)}zk =0.
Остальные рекуррентные соотношения получаются из (2.4) – (2.9) путем исключения из соответствующей пары формул общей смежной функции. Например, комбинируя (2.5) и (2.8) или (2.6) и (2.9) получаем
(-)F-F (+1)+F(+1)=0 (2.10)
(-)(1-z)F+(-)F (-1)-( -)F(-1)=0 (2.11)
и так далее
(-)F-F (+1)+F(+1)=
={(-)+
+} zk =
={--
(+k)+ 
( +k)} zk =0.
(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F(-1)=
=
{(-)-(-)+(-)
-(-
)} zk =
=
{(
-
)(
+k-1)(
+k-1)-(
-
)(+k-1)k+(
-)(-1)(+k-1)-
(
-)(+k-1)(-1)}zk =0.
Кроме распространенных рекуррентных соотношений существуют аналогичные соотношения, связывающие гипергеометрическую функцию вида F(, , ,z) с какой – либо парой родственных функций вида F(+1, +m, +n,z), где l,m,n – произвольные целые числа.
Простейшими рекуррентными соотношениями этого типа являются
F(, , ,z)-F(, , -1,z)= 
F(+1, +1, +1,z) (2.12)
F(, +1, ,z)- F(, , ,z)= 
F(+1, +1, +1,z) (2.13)
F(, +1, +1,z)- F(, , ,z)= 
F(+1, +1, +2,z) (2.14)
F(-1, +1, ,z)- F(, , ,z)= 
F(, +1, +1,z) (2.15)
К данному классу относятся также равенство (1.6)
Формулы (2.12) и (2.15) доказываются подстановкой в них ряда (1.1) или выводятся на основе уже известных рекуррентных соотношений для смежных функций.
1.3 Гипергеометрическое уравнение
Заметим, что гипергеометрическая функция u= F(, , ,z) является интегралом линейного дифференциального уравнения