Курсовая работа: Гипергеометрическое уравнение

+- = ={--}= =(

Путем повторного применения этого тождества можно представить функцию F(, , ,z) с произвольными параметрами (0,-1,-2,…) в виде суммы

F(, , ,z)= F(+s, +p, +2p, z) (1.7)

где р – целое положительное число (, , ,z) – полином относительно z. Если выбрать число р достаточно большим, так, чтобы R()>-p и R(-)>-p, то аналитическое продолжение каждой из функций F(+s, +p, +2p, z) может быть выполнено по формуле (1.5). Подставляя полученные выражения в (1.7) получим функцию, регулярную в плоскости с разрезом (1, ), которая при <1 совпадает с суммой гипергеометрического ряда (1.1) и, следовательно, является искомым аналитическим продолжением.

Гипергеометрическая функция F(, , ,z) играет важную роль в анализе и его приложениях. Введение этой функции дает возможность получить решение многих интересных проблем теоретического и прикладного характера, к которым, в частности, относится задача конформного отображения треугольника, ограниченного пересекающимися прямыми или дугами окружностей, различные задачи квантовой механики и так далее.

Большое число специальных функций может быть выражено через функцию F(, , ,z), что позволяет рассматривать теорию этих функций как соответствующие специальные случаи общей теории, данной в настоящем пункте.

1.2 Элементарные свойства гипергеометрической функции

В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые свойства гипергеометрической функции, которые непосредственно вытекают из ее определения с помощью ряда (1.1).

1. Принимая во внимание, что члены ряда не изменяются при перестановке параметров и имеем соотношение симметрии

F(, , ,z)= F(,,,z), (2.1)

2. Дифференцируя рассматриваемый ряд почленно, находим

F(, , ,z)===

==F(+1, +1, +1,z)

Таким образом, F(, , ,z)= F(+1, +1, +1,z)(2.2)

3. Повторное применение этой формулы приводит к равенствам

F(, , ,z)= F(+m, +m, +m,z)(2.3)

m=1,2,…

Положим в дальнейшем для сокращения записи

F(, , ,z)= F,

F(1, , ,z)= F(1),

F(, 1, ,z)= F(1),

F(, , 1,z)= F(1).

Функции F(1), F(1), F(1) называются смежными с F.

4. Мы покажем, что F и любые две смежные функции связаны между собой рекуррентным соотношением с коэффициентами, являющимися линейными функциями переменного z.В качестве основных соотношений этого типа могут быть выбраны равенства (2.4), (2.5), (2.6) соответственно.

(--)F+(1-z)F(+1)-(-)F(-1)=0,

(--1)F+F(+1)-(- 1)F(-1)=0,

(1-z)F-F(-1)+(- )F(+1)=0.

Подставляя ряд (1.1) в (2.4) имеем (2.4)

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=