Курсовая работа: Гипергеометрическое уравнение
+
-
= =
{
-
-
}= =
(
Путем повторного применения этого тождества можно представить функцию F(,
,
,z) с произвольными параметрами (
0,-1,-2,…) в виде суммы
F(,
,
,z)=
F(
+s,
+p,
+2p, z) (1.7)
где р – целое положительное число (
,
,
,z) – полином относительно z. Если выбрать число р достаточно большим, так, чтобы R(
)>-p и R(
-
)>-p, то аналитическое продолжение каждой из функций F(
+s,
+p,
+2p, z) может быть выполнено по формуле (1.5). Подставляя полученные выражения в (1.7) получим функцию, регулярную в плоскости с разрезом (1,
), которая при
<1 совпадает с суммой гипергеометрического ряда (1.1) и, следовательно, является искомым аналитическим продолжением.
Гипергеометрическая функция F(,
,
,z) играет важную роль в анализе и его приложениях. Введение этой функции дает возможность получить решение многих интересных проблем теоретического и прикладного характера, к которым, в частности, относится задача конформного отображения треугольника, ограниченного пересекающимися прямыми или дугами окружностей, различные задачи квантовой механики и так далее.
Большое число специальных функций может быть выражено через функцию F(,
,
,z), что позволяет рассматривать теорию этих функций как соответствующие специальные случаи общей теории, данной в настоящем пункте.
1.2 Элементарные свойства гипергеометрической функции
В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые свойства гипергеометрической функции, которые непосредственно вытекают из ее определения с помощью ряда (1.1).
1. Принимая во внимание, что члены ряда не изменяются при перестановке параметров и
имеем соотношение симметрии
F(,
,
,z)= F(
,
,
,z), (2.1)
2. Дифференцируя рассматриваемый ряд почленно, находим
F(
,
,
,z)=
=
=
==
F(
+1,
+1,
+1,z)
Таким образом, F(
,
,
,z)=
F(
+1,
+1,
+1,z)(2.2)
3. Повторное применение этой формулы приводит к равенствам
F(
,
,
,z)=
F(
+m,
+m,
+m,z)(2.3)
m=1,2,…
Положим в дальнейшем для сокращения записи
F(,
,
,z)= F,
F(1,
,
,z)= F(
1),
F(,
1,
,z)= F(
1),
F(,
,
1,z)= F(
1).
Функции F(1), F(
1), F(
1) называются смежными с F.
4. Мы покажем, что F и любые две смежные функции связаны между собой рекуррентным соотношением с коэффициентами, являющимися линейными функциями переменного z.В качестве основных соотношений этого типа могут быть выбраны равенства (2.4), (2.5), (2.6) соответственно.
(-
-
)F+
(1-z)F(
+1)-(
-
)F(
-1)=0,
(-
-1)F+
F(
+1)-(
- 1)F(
-1)=0,
(1-z)F-
F(
-1)+(
-
)F(
+1)=0.
Подставляя ряд (1.1) в (2.4) имеем (2.4)
(-
-
)F+
(1-z)F(
+1)-(
-
)F(
-1)=