Курсовая работа: Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
3) при каждом фиксированном функция
регулярна по
в области
.
Тогда интеграл (1) есть регулярная в области функция.
Доказательство. В силу условий 1, 2 функция непрерывна в области
. Возьмем произвольную точку
и построим круг
, который содержит точку
и лежит внутри
. Применим теорему Морера. Пусть
- замкнутая кривая, лежащая в круге
. Тогда
,(2)
так как порядок интегрирования можно переставить, а интеграл по равен нулю (интегральная теорема Коши). По теореме Морера функция
регулярна в круге
; следовательно,
регулярна в области
.
Следствие 1. Пусть - неограниченная кусочно-гладкая кривая, пусть выполнены условия 2, 3 и следующее условие:
4) интеграл (1) сходится равномерно по , где
- любая замкнутая подобласть области
.
Тогда функция регулярна в области
.
Следствие 2. Пусть условия 1, 3 выполнены, но функция может имеет особенности в концах кривой
. Если функция
непрерывна по
при
,
не принадлежит концам
и выполнено условие 4, то функция
регулярна в области
.
Доказательство следствий 1 и 2 проводится точно также, как и в теореме 1; интегралы в (2) можно переставлять в силу равномерной сходимости интеграла (1).
Теорема 2. [7, c.112] Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда
.(3)
Доказательство . Пусть - круг
, лежащий в области
и
- его граница. Тогда при
имеем
Перестановка порядка интегрирования возможна в силу непрерывности подынтегральной функции и конечности кривых .
Замечание. Теорема 2 остается в силе, если выполнены условия следствия 1 или 2, и интеграл (3) сходится равномерно по , где
- любая замкнутая подобласть области
.
Аналитические свойства интегральных преобразований.
Наиболее употребляемыми в математической физике интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа, Фурье и Меллинга.
Пусть функция определена на полуоси
. Ее преобразованием Лапласа называется функция
.(4)
Теорема 3. [7, c.113] Пусть функция непрерывна при
и удовлетворяет оценке
(5)
Тогда ее преобразование Лапласа есть функция, регулярная в полуплоскости
.
Доказательство. Воспользуемся следствием 1 из теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть . Тогда
.
Так как сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (4) сходится равномерно по
при
и функция
регулярна в этой полуплоскости. В силу произвольности
функция
регулярна при
.
Преобразованием Фурье функции определенной на действительной оси, называется функция
(6)
Теорема 4. [7, c.113] Пусть функция непрерывна при
и удовлетворяет оценкам
, (7)