Курсовая работа: Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования и фиксированного значения переменной . Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра. Естественно поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.

Пусть задана функция двух комплексных переменных , однозначно определенная для значений комплексной переменной из области и для значения комплексной переменной , принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимное расположение области и кривой может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных удовлетворяют следующим условиям:

a) Функция при любом значении является аналитической функцией в области .

b) Функция и ее производная являются непрерывными функциями по совокупности переменных при произвольном изменении в области и на кривой ;

Условие () означает, что действительная и мнимая части функции непрерывны по совокупности переменных .

Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функции по кривой существует при любом и является функцией комплексной переменной

(14)

Естественно поставить вопрос о свойствах функции . Оказывается, что при сделанных предположениях относительно функции функция является аналитической функцией комплексной переменной в области , причем производную функции можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла.

Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл

.

Так как, по предположению, функции и обладают частными производными по и , непрерывными по совокупности переменных, то частные производные функции по переменным , существуют и их можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла (14):

Сами функции и являются непрерывными функциями переменных , в области . На основании аналогичных свойств функции и используя условия Коши-Римана для функции , получим

(15)

Таким образом, для выполнены условия Коши-Римана (частные производные функции и непрерывны и связаны соотношениями (15)), что и доказывает аналитичность в области .

Заметим, что

(16)

Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру. При этом, если удовлетворяет тем же условиям () и (), что и , то также является аналитической функцией в области .

3.2 Существование производных всех порядков у аналитической функции

Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные характеристики аналитических функций. Как мы видели, значение функции , аналитической в некоторой области , ограниченной контуром , и непрерывной в замкнутой области , во внутренних точках этой области моет быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:

.(17)

Рассмотрим в области некоторую замкнутую подобласть , расстояние всех точек которой от границы области больше некоторого положительного числа . Функция

является аналитической функцией в области причем ее частная производная в этой области является непрерывной функцией своих аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутренних точках области производная может быть представлена в виде

(18)

Интеграл (18) является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (17). Следовательно, является аналитической функцией в области причем для ее производной справедлива формула

.(19)

Так как для любой внутренней точки области может быть построена соответствующая замкнутая подобласть то формулы (18) и (19) справедливы в любой точке . Имеет место и более общая теорема.

Теорема 7. [6, c.58] Пусть функция является аналитической в области и непрерывной в замкнутой области . Тогда во внутренних точках области существует производная любого порядка функции , причем для нее имеет место формула