Курсовая работа: Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

3) при каждом фиксированном функция регулярна по в области .

Тогда интеграл (1) есть регулярная в области функция.

Доказательство. В силу условий 1, 2 функция непрерывна в области . Возьмем произвольную точку и построим круг , который содержит точку и лежит внутри . Применим теорему Морера. Пусть - замкнутая кривая, лежащая в круге . Тогда

,(2)

так как порядок интегрирования можно переставить, а интеграл по равен нулю (интегральная теорема Коши). По теореме Морера функция регулярна в круге ; следовательно, регулярна в области .

Следствие 1. Пусть - неограниченная кусочно-гладкая кривая, пусть выполнены условия 2, 3 и следующее условие:

4) интеграл (1) сходится равномерно по , где - любая замкнутая подобласть области .

Тогда функция регулярна в области .

Следствие 2. Пусть условия 1, 3 выполнены, но функция может имеет особенности в концах кривой . Если функция непрерывна по при , не принадлежит концам и выполнено условие 4, то функция регулярна в области .

Доказательство следствий 1 и 2 проводится точно также, как и в теореме 1; интегралы в (2) можно переставлять в силу равномерной сходимости интеграла (1).

Теорема 2. [7, c.112] Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда

.(3)

Доказательство . Пусть - круг , лежащий в области и - его граница. Тогда при имеем

Перестановка порядка интегрирования возможна в силу непрерывности подынтегральной функции и конечности кривых .

Замечание. Теорема 2 остается в силе, если выполнены условия следствия 1 или 2, и интеграл (3) сходится равномерно по , где - любая замкнутая подобласть области .

Аналитические свойства интегральных преобразований.

Наиболее употребляемыми в математической физике интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа, Фурье и Меллинга.

Пусть функция определена на полуоси . Ее преобразованием Лапласа называется функция

.(4)

Теорема 3. [7, c.113] Пусть функция непрерывна при и удовлетворяет оценке

(5)

Тогда ее преобразование Лапласа есть функция, регулярная в полуплоскости .

Доказательство. Воспользуемся следствием 1 из теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть . Тогда

.

Так как сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (4) сходится равномерно по при и функция регулярна в этой полуплоскости. В силу произвольности функция регулярна при .

Преобразованием Фурье функции определенной на действительной оси, называется функция

(6)

Теорема 4. [7, c.113] Пусть функция непрерывна при и удовлетворяет оценкам

, (7)