Курсовая работа: Інтерполювання функцій

де .

Повторюючи процедуру, отримаємо кінцеві різниці третього порядку:

Для кінцевих різниць -го порядку:

В результаті отримаємо таблицю кінцевих різниць:

.............

Залучивши визначення похідної, можна виявити певний зв'язок між кінцевими різницями і похідними. А саме, якщо враховувати, що , то можна сказати, що при достатньо малих має місце наближена рівність тобто перші різниці характеризують першу похідну функції по значенням якої вони складені. Скориставшись цим, маємо для других різниць:

,

тобто , і, взагалі, . (1. 2. 1)

Таким чином, на кінцеві різниці можна дивитись як на деякий аналог похідних. Звідси справедливість багатьох їх властивостей, однакових зі властивостями похідних.

Відмітимо лише найпростіші властивості кінцевих різниць:

1. кінцеві різниці сталої дорівнюють нулю;

2. сталий множник у функції можна виносити за знак кінцевої різниці;

3. кінцева різниця від суми двох функцій дорівнює сумі їх кінцевих різниць в одній і тій же точці.

Враховуючи роль, яку відіграють многочлени в теорії інтерполювання, подивимось, що представляють собою кінцеві різниці многочленна.

Так як многочлен в своїй канонічній формі є лінійна комбінація степеневих функцій, покладемо спочатку . Використовуючи біноміальне розвинення п-ого степеня двочлена, отримаємо:

тобто перша кінцева різниця степеневої функції є многочлен степеня п-1 зі старшим членом . Якщо взяти тепер кінцеву різницю від функції

, (1. 2. 2)

то в силу лінійних властивостей , можна записати . Перший доданок в цій сумі, як з’ясовано, є многочлен (п-1)-го степеня, другий, аналогічно, - многочлен степеня п-2, і т. д. отже, перша кінцева різниця многочленна (1. 2. 2) в точці з короком є многочлен зі старшим членом , друга кінцева різниця – многочлен зі старшим членом , …, -та різниця – многочлен зі старшим членом .

При отримуємо постійну різницю п-го порядку для многочлена (1. 2. 2), кінцеві різниці більш високих порядків дорівнюють нулю.