Курсовая работа: Інтерполювання функцій

Звідси, так як , то

(1. 2. 13)

При цьому значення множника функції має п+2 кореня на відрізку і буде обертатись в нуль на кінцях кожного з відрізків

. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків, переконуємось, що похідна має не менше п+1 кореня на відрізку .

Малюнок 1. Графік функції

Застосовуючи теорему Ролля до похідної , ми переконаємося, що друга похідна перетворюється в нуль не менше п разів на відрізку .

Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до висновку, що на відрізку похідна має хоча б один корінь, котрий позначимо через , тобто .

Із формули (1. 2. 11) так як , маємо: . При , отримуємо: Звідси . (1. 2. 14)

Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:

, тобто

. (1. 2. 15)

Так як довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так:

, (1. 2. 16)

де залежить від і лежить всередині відрізка .

Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка , в тому числі і для вузлів інтерполювання.

На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 17)

де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17), отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 18)

де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними.

Вважаючи, що майже постійними для функції і достатньо малим, і враховуючи, що , наближено можна покласти:

.

В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний

.

При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз

.