Курсовая работа: Инвариантные подгруппы бипримарных групп

Пусть теперь - нечетное число . Тогда

где

Ho - нечетное число, поэтому - нечетное число. Так как , если , и , если , то , где - нечетное число.

И наконец, если , . - нечетное число, то

- нечетное число. Лемма доказана.

Лемма Пусть и - различные простые числа, - показатель числа по модулю и , не делит . Пусть , или и - порядок силовской -подгруппы группы . Если , то , где - целое число, удовлетворяющее неравенству . Если , то . Здесь число определяется как и в лемме3.

Доказательство. Порядок группы известен (см.2):

Ясно, что - наивысшая степень , которая делит произведение .

Рассмотрим, вначале случай, когда . Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении лишь следующие сомножители кратны :

где определяется неравенством . Так как есть наивысшая степень , которая делит , где , не делит , то наивысшая степень , которая делит , есть .

Следовательно,

.

Пусть теперь . Тогда и . Заметим, что

Применим индукцию по . Если , то , а так как , и , то утверждение для справедливо.

Предположим, что равенство выполняется для , и докажем его для . Пусть вначале есть нечетное число, т.е. , и . По лемме (4) , - нечетное число. Поэтому . Так как , а , то утверждение для справедливо.

Пусть теперь - четное число. Тогда и . Кроме того, если , не делит , то по лемме , - нечетное число. Значит,

Лемма доказана полностью.

Лемма Пусть и - различные простые числа и - порядок некоторой -подгруппы группы . Тогда либо , либо справедливо одно из следующих утверждении:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , , и .

Доказательство. Пусть - показатель числа по модулю и , не делит . Так как - порядок силовской -подгруппы группы , то . Если , то лемма справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме в этом случае , где определяется неравенством . Допустим, что . Так как , то и - противоречие. Значит, , поэтому либо , либо .