Курсовая работа: Инвариантные подгруппы бипримарных групп
Теперь пусть 
. Тогда 
. Легко показать, что 
, поэтому 
. Если 
, то 
и 
. Отсюда следует, что
получили противоречие. Значит, 
, т.е. 
и 
. Поэтому 
. Воспользуемся неравенством 
, которое справедливо при 
. Тогда
и из 
следует, что 
и . Получили утверждение из пункта 3. Случай 
разобран полностью.
Рассмотрим теперь случай 
. Тогда 
. Пусть 
- наименьшее целое число, при котором 
, и пусть 
. Предположим, что 
. Тогда 
. Но 
и 
, поэтому 
и 
. Если 
, то 
, 
и 
. Кроме того, 
. Отсюда 
. Следовательно, при 
справедливо неравенство . Так как 
, то 
и 
Таким образом, при всегда 
. Значит, надо рассмотреть лишь два случая: 
и 
.
Пусть , тогда 
. Непосредственно проверяется, что 
при 
. При 
имеем 
, причем 
. Поэтому 
. Получили утверждение из пункта 1.
Осталось рассмотреть . Теперь 
. В 
силовская 
-подгруппа имеет порядок 
. Так как 
, то 
и 
. Но 
, 
. Поэтому этот случай записан в пункте 2. Лемма доказана полностью.
Доказательство теоремы . Пусть 
, 
- упорядоченная пара простых чисел, 
- натуральное число и , , удовлетворяют одному из трех требований теоремы. Через 
обозначим элементарную абелеву группу порядка 
, через 
- силовскую -подгруппу группы 
. Так как есть группа автоморфизмов группы 
, то группа 
, являющаяся расширением группы с помощью группы , не имеет инвариантных -подгрупп 
. Покажем, что - искомая группа. Вычислим порядок группы . Из леммы следует, что 
причем:
1) 
, если 
и 
;
2) 
, если , 
и 
, если , 
, 
;
3) 
, если 
, 
.
В первых двух случаях непосредственно проверяется, что . Используя неравенство 
, которое справедливо при 
, в третьем случае получаем 
. Таким образом, 
и в каждом из трех случаев . Теорема доказана.
3. Доказательство теоремы . Допустим, что теорема неверна и группа 
- контрпример минимального порядка. Пусть 
- силовская -подгруппа, 
- силовское -дополнение в 
.
Обозначим через 
наибольшую инвариантную -подгруппу из . Подгруппа характеристическая и 
не имеет неединичных инвариантных -подгрупп. Предположим, что 
. Факторгруппа имеет порядок 
. Если 
, то 
- противоречие. Поэтому 
и для
