Курсовая работа: Иррациональные уравнения

Пример 1 . - является уравнением с одной неизвестной.

Пример 2. - является уравнением с двумя неизвестными.

Определение 2. Равенство вида называется уравнением с одной переменной .

Пример 1. - является уравнением с одной переменной х.

Далее рассматриваем уравнения с одной переменной.

Определение 3. Всякое значение переменной, при котором выражения и принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения или его решением.

Пример 1. Уравнение имеет два корня: -1 и 1.

Определение 4. Решить уравнение – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Пример 1. Уравнение имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной обращается в верное равенство, таким образом, ответ записывается в следующем виде:

О т в е т: {4}.

Пример 2. Уравнение не имеет действительных корней.

О т в е т:.

Пример 3. Уравнение имеет бесконечное множество решений, так как после тождественных преобразований получили равенство . Т.е данное уравнение есть тождественное равенство, верное для любого действительного значения .

О т в е т: .

Определение 5. Тождество (тождественное равенство) - это равенство двух выражений с переменными, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Тождествами считаются и верные числовые равенства, а также равенства, превращающиеся в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых эти выражения определены.

Пример 1. Равенство , справедливо для всех числовых значений и в, является тождественным.

Пример 2. Равенство 2=2 тождество.

Определение 6. Тождественное преобразование выражения – это замена выражения на тождественно равное ему выражение, т. е. равное для всех числовых значений входящих в него переменных.

К тождественным преобразованиям относятся, например, приведение подобных слагаемых; разложение на множители; приведение алгебраических дробей к общему знаменателю; разложение их на элементарные дроби и другие.

Определение 7. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Пример 1. - иррациональное уравнение (переменная содержится под знаком радикала).

Пример 2. иррациональное уравнение (переменная содержится под знаком возведения в дробную степень).

Определение 8. Областью определения уравнения (или областью допустимых значений переменной - ОДЗ) называют множество всех тех значений переменной , при которых и выражение , и имеют смысл.

Пример 1. Выражение ( и определены при всех . Значит, ОДЗ: .

Пример 2. . Выражение не определено при , а выражение не определено при .

Значит, ОДЗ: .

Пример 3. . Корень четной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременно должны выполняться условия: т.е. ОДЗ:

Определение 9. Пусть даны уравнения: (1), (2).

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Следствие обозначается следующим образом: