Курсовая работа: Иррациональные уравнения

2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной

При решении различных видов уравнений: рациональных, тригонометрических, показательных часто используется метод введения новой переменной. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить только лишь в процессе каких либо преобразований. Бывает полезно ввести не одну, а две переменные. Видим типичные случаи введения новых переменных в иррациональных уравнениях.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную. Пусть , , где . Получаем, что .Тогда - не удовлетворяет условию

Выполним обратную замену.

О т в е т:{34}.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Уединение радикала и возведение в степень обеих частей уравнения привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что данное уравнение сводиться к квадратному. Действительно, умножим обе части заданного уравнения на 2, получим, что

Введем новую переменную. Пусть Получаем, что . Тогда - не удовлетворяет условию ,

Выполним обратную замену. Тогда ,

Т.к. исходное уравнение равносильно уравнению то проверка полученных корней не нужна.

О т в е т: {-2;3,5}.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение.

Введем новую переменную. Пусть, а Получаем, что . Тогда - не удовлетворяет условию .

Выполним обратную замену. .

О т в е т:{1}.

2.4 Уравнения вида , ,

Данные уравнения можно решить при помощи основного метода решения иррациональных уравнений (возведение в квадрат обеих частей уравнения), но иногда их можно решить и другими методами.

Рассмотрим уравнение (1). Пусть - корень уравнения (1). Тогда справедливо числовое равенство . Найдем разность чисел и , обозначив ее , и запишем данное равенство в виде (2).

Используя, что , запишем равенство (2) в виде . Данное равенство означает, что число есть корень уравнения (3).

Таким образом, уравнение (3) является следствием уравнения (1). Складывая эти два уравнения и умножая полученное уравнение на а, получим уравнение (4), также являющееся следствием уравнения (1). Возведя уравнение (4) в квадрат и решив полученное уравнение, надо выполнить проверку найденных корней, т.е. проверить, являются ли его корни корнями уравнения (1).

Замечание. Отметим, что точно также доказывается, что уравнение (4) есть следствие уравнения .

Пример 1. Решить уравнение (5).

Решение. Разность подкоренных выражений и есть

. ,

то уравнение (6) является следствием исходного уравнения. Тогда, складывая уравнения (5) и (6), получим уравнение (7), также являющееся следствием исходного уравнения (5). Возведем обе части уравнения (6) в квадрат, получим уравнение (8), также являющееся следствием исходного уравнения. Решая уравнение (8), получаем, что ,

Проверкой убеждаемся, что оба этих числа являются корнями исходного уравнения.

О т в е т:.